Chủ đề này có 8 trả lời

[Zeaynzs]

Giúp mình bài này với 

Tìm GTNN:

A=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$     ($a,b,c>0$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeaynzs: 02-11-2014 - 11:05

[daotuanminh]

Ta có:$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}

=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})

\geq (a+b+c)(\frac{9}{a+b+c}+\frac{9}{2(a+b+c)}) =(a+b+c)\frac{27}{2(a+b+c)}=\frac{27}{2}$

[Zeaynzs]

Ta có:$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}

=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})

\geq (a+b+c)(\frac{9}{a+b+c}+\frac{9}{2(a+b+c)}) =(a+b+c)\frac{27}{2(a+b+c)}=\frac{27}{2}$

Theo mình $\frac{27}{2}$ chưa phải là GTNN đâu. Với a=b=c=1 thì A=7,5 <$\frac{27}{2}$

[Chung Anh]

Giúp mình bài này với 

Tìm GTNN:

A=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$

Đặt $M=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$

$\Rightarrow M+3=(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})$

$\Rightarrow M+3=\frac{1}{2}\left [ (a+b)+(b+c)+(a+c) \right ](\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})\geq \frac{1}{2}.3^2=4,5$ (bdt Cauchy-Schwars)

Đặt $N=\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}+\frac{c+a}{b}=(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})\geq 2+2+2=6$

$\Rightarrow A=M+N\geq (4,5-3)+6=7,5$  

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 02-11-2014 - 10:47

[dogsteven]

Sai hết rồi, đề có có dương đâu mà Cauchy-Schwarz với Cauchy. Khẳng định là đề thiếu điều kiện $a,b,c>0$

[daotuanminh]

Theo mình $\frac{27}{2}$ chưa phải là GTNN đâu. Với a=b=c=1 thì A=7,5 <$\frac{27}{2}$

À mình quên chưa trừ 6

[Zeaynzs]

Sai hết rồi, đề có có dương đâu mà Cauchy-Schwarz với Cauchy. Khẳng định là đề thiếu điều kiện $a,b,c>0$

Uk, đúng rồi, mình sơ suất quá, ghi thiếu đk

[lethutang7dltt]

Giúp mình bài này với 

Tìm GTNN:

A=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$     ($a,b,c>0$)

đặt  $A_{1}=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$

        $A_{2}=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}$

Do đó :$A=A_{1}+A_{2}$

Dễ c/m:$A_{1}\geqslant \frac{3}{2}$  (1)

Có: $A_{2}=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c}=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant (a+b+c)\frac{9}{a+b+c}-3=6$

Do đó: $A_{2}\geqslant 6$    (2)

Lấy (1) cộng (2)=>$A\geqslant 7,5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethutang7dltt: 04-11-2014 - 21:02

[Nguyentiendung9372]

Giúp mình bài này với 

Tìm GTNN:

A=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$     ($a,b,c>0$)

Áp dụng AM - GM, ta có

$\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{4a}\geq 1$

Tương tự, ta có

$\frac{b}{a+c}+\frac{a+c}{4b}\geq 1$

$\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{4c}\geq 1$

Mặt khác, theo AM - GM, có

$\frac{3}{4}\sum \frac{b+c}{a}\geq \frac{9}{2}$

Suy ra min=$\frac{9}{2}+3=\frac{15}{2}$

Dấu bằng khi $a=b=c$