Định lý Viviani
(Nguyễn Hoàng Mai Trâm - Thành viên Chuyên san EXP)
Vincenzo Viviani
(5/4/1622 - 22/9/1703)
Định lý:
Định lý Viviani phát biểu rằng: Tổng khoảng cách từ bất kì điểm nào nằm trong tam giác đều đến các cạnh đối diện chính bằng đường cao của tam giác ấy.
Chứng minh:
Định lý dựa trên một mệnh đề đã có sẵn: diện tích của một tam giác bằng một nửa tích đường cao và cạnh đáy tương ứng. Cho tam giác $ABC$ đều với đường cao h kẻ xuống cạnh $a$. $P$ là một điểm nằm trong tam giác và $u;s;t$ là khoảng cách từ $P$ đến các cạnh. Tạo ra các tam giác $PAB;~PBC;~PCA$:
Ta có diện tích của các tam giác lần lượt là $\frac{ua}{2};\frac{sa}{2};\frac{ta}{2}$. Tổng diện tích ba tam giác $PAB;~PCA;PBC$ bằng diện tích tam giác $ABC$. Ta có thể viết:
$$\frac{ua}{2}+\frac{sa}{2}+\frac{ta}{2}=\frac{ha}{2}$$
$$\Leftrightarrow u+s+t=h$$
Chú ý: (mệnh đề đảo) Nếu tổng khoảng cách từ một điểm bất kì trong tam giác đến ba cạnh tương ứng luôn không đổi thì đó là tam giác đều.
Ứng dụng:
Sơ đồ cháy của metan
Định lý Viviani nghĩa là đường thẳng song song với bất kì cạnh nào của tam giác đều cho ta tọa độ để thực hiện phép biểu diễn tam phân như sơ đồ cháy của metan và nhiều hình vẽ thường gặp khác.
Mở rộng:
(i) Hình bình hành:
Tổng khoảng cách từ một điểm bất kì đến các cạnh của hình bình hành luôn không đổi. Mệnh đề đảo cũng khẳng định: nếu tổng khoảng cách từ một điểm bất kì đến các cạnh của một tứ giác luôn không đổi thì tứ giác đó là hình bình hành
Chú ý: Kết quả này chính xác với đa giác có $2n$ cạnh và các cặp cạnh song song với nhau. Khi tổng khoảng cách giữa các cặp song song đối diện là không đổi, kéo theo tổng khoảng cách giữa các cặp đôi một song song cũng không đổi. Mệnh đề đảo không phải lúc nào cũng đúng, ví dụ cho hình lục giác đều, mà không nhất thiết phải cạnh đối diện song song.
(ii) Đa giác đều:
Nếu một đa giác đều (góc và cạnh bằng nhau), thì tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì đến cạnh đối diện là không đổi. Cụ thể, khoảng cách bằng n lần đường trung đoạn, trong đó n là số cạnh và đường trung đoạn là khoảng cách từ tâm đến một cạnh của đa giác. Tuy nhiên, định lý đảo
không tồn tại, hình bình hành không vuông là một phản chứng
(iii) Đa giác có các góc bằng nhau:
Tổng khoảng cách tử một điểm bất kì đến tất cả các cạnh của đa giác luôn không đổi
(iv) Đa diện đều:
Tổng khoảng cách từ một điểm bất kì đến các cạnh của đa diện đều luôn không đổi. Tuy nhiên, định lý đảo không tồn tại, thậm chí với tứ diện.
Đây là một trong các sản phẩm của nhóm chuyên san EXP, trực thuộc CLB học thuật, khoa Toán - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp. Hồ Chí Minh. Trong hơn 3 năm qua nhóm chúng tôi đã thực hiện các dự án quy mô nhỏ nhằm cải thiện tình trạng giáo dục Việt Nam, hút lại chất xám từ nước ngoài trở về, và hiện đại hóa các công cụ Toán học trong nước.
Bài viết này được dịch từ https://en.wikipedia...viani's_theorem
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 14-11-2014 - 22:46
