Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia THPT chuyên Quốc Học 2014-2015

f điểm tùy ý trên cạnh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 mnguyen99

mnguyen99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 696 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán ,THPT chuyên Quốc Học Huế
  • Sở thích:Sherlock Holmes, người đàn ông chưa bao giờ sống và không bao giờ chết.

Đã gửi 04-11-2014 - 09:31

 Mấy bữa ni chừ mới xin được đề

 

Vòng 1 (180') 

 

Câu 1: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab+bc+ca=1. CM 
    $\sum \frac{a^{3}}{1+9b^{2}ac}\geq \frac{(a+b+c)^{^{3}}}{18}$
Câu 2: Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa
 $f(x^{3})+f(y^{3})=(x+y)(f(x^{2})+f(y^{2})-f(xy))$
Bài 3: Cho dãy số $u_{n}$ xác định
 $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=5u_{n}+\sqrt{Ku_{n}^{2}-8} \end{matrix}\right.$
Tìm K nguyên dương sao cho mọi số hạng của dãy $u_{n}$ đềulà số nguyên.
Bài 4: Cho ABC laftam giác nhọn có trực tâm H và chân các đường cao vẽ từ B,C theo thứ tự M,N. Gọi P là điểm tùy ý trên cạnh BC, X là điểm đối xứng của P qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPN, Ý là điểm đối xứng của P qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CPM. CM H,X,Y thẳng Hàng.

 

Spoiler

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mnguyen99: 04-11-2014 - 10:39

THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$??? 

 

TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026


#2 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 04-11-2014 - 17:18

Câu 2: Cho $x=y=0 \Rightarrow f(0)=0$

Cho $x=0 \Rightarrow f(y^3)=y f(y^2) \Rightarrow f(x)=-f(-x)$

 Thay vào phương trùnh ta có:

$yf(x^2)+xf(y^2)=(x+y).f(xy)$

Thế $y$ bởi $-y$ ta có:

$-yf(x^2)+xf(y^2)=-(x-y)f(xy)$

 

Cộng vế $xf(y^2)=yf(xy)$

Cho $y=1$

 

 

Câu 4:

IMO 2013


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrunghieu22101997: 05-11-2014 - 11:23

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#3 9nho10mong

9nho10mong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TTGDTX Bình Chánh

Đã gửi 04-11-2014 - 18:26

 Câu 1: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab+bc+ca=1. CM 

    $\sum \frac{a^{3}}{1+9b^{2}ac}\geq \frac{(a+b+c)^{^{3}}}{18}$
 

 

Dùng Cauchy - Schwarz có
$$ \sum \frac{a^3}{1+9ab^2c} \ge \frac{ \left( a^2+b^2+c^2 \right)^2}{ a+b+c + 9abc}  \ge \frac{ \left( a+b+c \right)^4}{ 9 \left( a+b+c + 9abc \right)} $$
Cần chứng minh
$$ \frac{ \left( a+b+c \right)^4}{ 9 \left( a+b+c + 9abc \right)} \ge \frac{\left( a+b+c \right)^3}{18} $$
Tương đương với 
$$ a+b+c \ge 9abc $$
Bất đẳng thức này đúng bởi điều kiện $ \displaystyle ab+bc+ca =1 $ và bất đẳng thức quen biết
$$ \left( a+b+c \right) \left( ab+bc+ca \right) \ge 9abc $$
Ta có điều cần chứng minh .

.

 


#4 Thao Huyen

Thao Huyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-11-2014 - 22:17

Bài 3: Cho dãy số $u_{n}$ xác định

 $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=5u_{n}+\sqrt{Ku_{n}^{2}-8} \end{matrix}\right.$
Tìm K nguyên dương sao cho mọi số hạng của dãy $u_{n}$ đềulà số nguyên

$U_2=5+ \sqrt{k-8}$

$\sqrt{k-8}=t^2$

$u_3= 25+5t +\sqrt{(t^2+8)(t+5)^2-8)} \Rightarrow (t^2+8)(t+5)^2-8$ la so chinh phuong

rồi ((t^2+8)(t+5)^2-8 chặn giữa 2 số chính phương là (t^2 +5t +4)^2 và (t^2+5t+14)^2

t=4

k=24

thử lại vs k=24 thi $U_n = 10U_n-1 - U_n-2 là 1 số nguyên


Cuộc sống giống như một cuốn sách. Một vài chương khá buồn, một số chương hạnh phúc và một số chương rất thú vị. Nhưng nếu bạn chưa bao giờ lật thử một trang bạn sẽ không bao giờ biết những gì ở chương tiếp theo!


#5 mnguyen99

mnguyen99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 696 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán ,THPT chuyên Quốc Học Huế
  • Sở thích:Sherlock Holmes, người đàn ông chưa bao giờ sống và không bao giờ chết.

Đã gửi 05-11-2014 - 09:05

Đề Vòng 2

 

Bài 1: Gọi N là số nguyên lớn hơn số nguyên tó thứ 2015, CM tồn tại 1 dãy gồm N số nguyên dương liên tiếp chứa đúng 2014 số nguyên tố.

Bài 2: Tìm tất cả các đa thức $P(x)\epsilon \mathbb{R}$ với hệ số thực sao cho đa thức sau là hằng số

  $(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)$

Bài 3: Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Giả sử$\widehat{DAB}=\widehat{BCA};\widehat{DAC}=15^{\circ}$.  CM  góc ADC tù. Hơn nữa nếu O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC, CM AOD là tam giác đều.

Bài 4: Cho a,b là 2 số nguyên dương; g,l lần lượt là ước chung lớn nhất và bội chung njor nhất của a,b.

a) CM $g+l\leq ab+1$.Dâus = xẩy khi nào.

b) Giả sử ab>2 và g+l chia hết a+b. CM lúc đó thưng của chúng không vượt quá $\frac{a+b}{4}$.


THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$??? 

 

TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026


#6 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 05-11-2014 - 11:59

Câu 2:

$(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)=a$

Cho $x=1 \Rightarrow P(0)=\dfrac{a}{2}$

Cho $x=-1 \Rightarrow P(-1)=\dfrac{a}{2}$

Đặt $P(x)=\dfrac{a}{2}+x(x+1)R(x)$

Thế vào ban đầu thấy thỏa mãn


Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#7 Thao Huyen

Thao Huyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-11-2014 - 11:42

đề thi cấp tỉnh nè mn

Hình gửi kèm

  • 10714299_1506712269582378_8740561076293236468_o.jpg

Cuộc sống giống như một cuốn sách. Một vài chương khá buồn, một số chương hạnh phúc và một số chương rất thú vị. Nhưng nếu bạn chưa bao giờ lật thử một trang bạn sẽ không bao giờ biết những gì ở chương tiếp theo!





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh