Đến nội dung

Hình ảnh

$f(x^{2}+y+f(y))=(f(x))^{2}+2y\forall x,y\in \mathbb{R}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
habayern

habayern

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 189 Bài viết

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:

$f(x^{2}+y+f(y))=(f(x))^{2}+2y\forall x,y\in \mathbb{R}$



#2
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

dễ thấy f là toàn ánh nến tồn tại t sao cho f(t)=0 
đặt f(0)=a 
thay y=t x=0 vào bài ta đc a^2 +2t=0 từ đây dễ thấy ngay được f(x)==0 khi và chỉ khi x=t
tiếp tục thay x suy ra f(t^2 +a)=0 suy ra ngay t^2+a=t
vậy ta được hệ phương trình 2 ẩn a và t

giải ra ta được một nghiệm đẹp và 1 nghiệm xấu là t=0 và t=-.....
có thể tự giải tiếp , muộn quá a chưa nghĩ ra tiếp đc ;v
 



#3
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

viết nốt đoạn f(0)=0
cho y=0 ta có ngay f(x^2)=f(x)^2 suy ra f(x)>=0 với mọi x>=0 chú ý từ đây dễ dàng suy ra f là hàm lẻ
thay y bởi -x^2 vào bài ta có ngay f(f(-x^2)=f(x^2)-2.x^2 sử dụng tính chất hàm lẻ thì có ngay f(f(x^2)+f(x^2)=2.x^2 tương tự thì cũng có f(f(-x^2))+f(-x^2)=-2.x^2
vậy ta có với mọi x thuộc R thì f(f(x)+f(x)=2x đến đây dùng dãy số thì có ngay f(x)=x với mọi x thuộc R 
còn 1 trường hợp số rất xấu kia thì cụ thể là a và t đều là số âm nên thay x ằng căng (-a) vào y=0 là suy ra vô lý ngay


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cachuoi: 11-11-2014 - 12:23





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh