Bài toán (Cơ bản) : Cho $R$ là vành có duy nhất phần tử đơn vị trái thì $R$ là vành có đơn vị.
Cho $R$ là vành có duy nhất phần tử đơn vị trái thì $R$ là vành có đơn vị.
Bắt đầu bởi phuc_90, 12-11-2014 - 12:10
#2
Đã gửi 12-11-2014 - 22:24
fghost
-
- Thành viên
-
- 227 Bài viết
Thượng sĩ
Gọi $e$ là phần tử đơn vị trái duy nhất, có nghĩa là $eu=u$ với mọi $u \in R$. Thử xem ta cần chứng minh, $ue=u$, tức là $e$ là phần tử đơn vị phải. Mà $ue=u \Leftrightarrow u-ue+e=e$, tức là ta cần chứng minh $u-ue+e$ cũng là phần tử đơn vị trái. Thật vậy, với mọi $v \in R$, $(u-ue+e)v=uv-uev+ev=uv-uv+v=v$. Như vậy ta có, $u-ue+e$ là phần tử đơn vị trái, vì tính duy nhất. Sau đó, ta có $u-ue+e=e$, và đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 12-11-2014 - 22:25
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
