Đến nội dung

Hình ảnh

${{\left( 1+\frac{1}{m} \right)}^{m}}<{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
ruagia47

ruagia47

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Chứng minh:  ${{\left( 1+\frac{1}{m} \right)}^{m}}<{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$ với $m,n\in {{\mathbb{N}}^{*}},m<n$ 



#2
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

đạo hàm suy ra hiển nhiên



#3
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

đạo hàm suy ra hiển nhiên

Đạo hàm là sao bạn ? ( Bạn giải cụ thể đi ) 


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#4
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

bạn có thể tìm hiểu về số e , e là giới hạn của số này khi cho m tiến đến vô cùng 
 



#5
Nguyentiendung9372

Nguyentiendung9372

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

Chứng minh:  ${{\left( 1+\frac{1}{m} \right)}^{m}}<{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$ với $m,n\in {{\mathbb{N}}^{*}},m<n$ 

Bạn có thể chứng minh dãy số ${\left( {{u_n}} \right)_{n \ge 1}}$ tăng với ${u_n} = {\left( {1 + {1 \over n}} \right)^n}$

 

Điều này không khó

 

Xét ${u_{n + 1}} \ge {u_n} = {\left( {{{n + 2} \over {n + 1}}} \right)^{n + 1}} \ge {\left( {{{n + 1} \over n}} \right)^n} \Leftrightarrow {{n + 2} \over {n + 1}}\root n \of {{{n + 2} \over {n + 1}}}  \ge {{n + 1} \over n} \Leftrightarrow \root n \of {{{n + 1} \over {n + 2}}}  \le {{n\left( {n + 2} \right)} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}$

 

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có

$\root n \of {{{n + 1} \over {n + 2}}}  \le {1 \over n}\left( {n - 1 + {{n + 1} \over {n + 2}}} \right) = {{{n^2} + 2n - 1} \over {n\left( {n + 2} \right)}}$

 

Cuối cùng ta cần chứng minh 

 

${{{n^2} + 2n - 1} \over {n\left( {n + 2} \right)}} < {{n\left( {n + 2} \right)} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {{\left( {{n^2} + 2n + 1} \right)\left( {{n^2} + 2n - 1} \right)}} < {n^2}{\left( {n + 2} \right)^2}$, đúng

 

Suy ra đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyentiendung9372: 17-11-2014 - 17:44





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh