Chứng minh: ${{\left( 1+\frac{1}{m} \right)}^{m}}<{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$ với $m,n\in {{\mathbb{N}}^{*}},m<n$
${{\left( 1+\frac{1}{m} \right)}^{m}}<{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$
#1
Đã gửi 13-11-2014 - 21:53
#2
Đã gửi 14-11-2014 - 23:08
đạo hàm suy ra hiển nhiên
#4
Đã gửi 15-11-2014 - 18:43
bạn có thể tìm hiểu về số e , e là giới hạn của số này khi cho m tiến đến vô cùng
#5
Đã gửi 17-11-2014 - 13:33
Chứng minh: ${{\left( 1+\frac{1}{m} \right)}^{m}}<{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$ với $m,n\in {{\mathbb{N}}^{*}},m<n$
Bạn có thể chứng minh dãy số ${\left( {{u_n}} \right)_{n \ge 1}}$ tăng với ${u_n} = {\left( {1 + {1 \over n}} \right)^n}$
Điều này không khó
Xét ${u_{n + 1}} \ge {u_n} = {\left( {{{n + 2} \over {n + 1}}} \right)^{n + 1}} \ge {\left( {{{n + 1} \over n}} \right)^n} \Leftrightarrow {{n + 2} \over {n + 1}}\root n \of {{{n + 2} \over {n + 1}}} \ge {{n + 1} \over n} \Leftrightarrow \root n \of {{{n + 1} \over {n + 2}}} \le {{n\left( {n + 2} \right)} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}$
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có
$\root n \of {{{n + 1} \over {n + 2}}} \le {1 \over n}\left( {n - 1 + {{n + 1} \over {n + 2}}} \right) = {{{n^2} + 2n - 1} \over {n\left( {n + 2} \right)}}$
Cuối cùng ta cần chứng minh
${{{n^2} + 2n - 1} \over {n\left( {n + 2} \right)}} < {{n\left( {n + 2} \right)} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {{\left( {{n^2} + 2n + 1} \right)\left( {{n^2} + 2n - 1} \right)}} < {n^2}{\left( {n + 2} \right)^2}$, đúng
Suy ra đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyentiendung9372: 17-11-2014 - 17:44
- ruagia47, khanghaxuan và chardhdmovies thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh