Đến nội dung

Hình ảnh

Câu 4:Tìm tất cả các số nguyên dương n để $n^{2}+1$ chia hết cho $n+1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
unin

unin

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết

Câu 1: Chứng minh trong $5$ số bất kì luôn chọn được $2$ cặp số mà tổng của chúng có cùng số dư khi chia cho $3$.

Câu 2: Nếu số tự nhiên $a$ không chia hết cho 7 thì $a^{6}- 1$ chia hết cho 7

Câu 3: Chứng minh $3^{n}+4 $ không là số chính phương với mọi số tự nhiên $n$.

Câu 4:Tìm tất cả các số nguyên dương n để $n^{2}+1$ chia hết cho $n+1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 25-11-2014 - 14:30


#2
Dung Du Duong

Dung Du Duong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 425 Bài viết

Câu 1: Chứng minh trong 5 số bất kì luôn chọn được 2 cặp số mà tổng của chúng có cùng số dư khi chia cho 3.

Câu 2: Nếu số tự nhiên a không chia hết cho 7 thì $a^{6}- 1$ chia hết cho 7

Câu 3: Chứng minh $3^{n}+4 $ không là số chính phương với mọi số tự nhiên n.

Câu 4:Tìm tất cả các số nguyên dương n để $n^{2}+1$ chia hết cho n+1

Câu 1:

Nếu 5 số đó khi chia cho 3 có ko quá 2 số dư thì theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại ít nhất 3 số có cùng số dư khi chia cho 3, đó là 3 số cần tìm.

Nếu 5 số đó khi chia cho 3 có 3 số dư (0,1,2) thì 3 số chia cho 3 có số dư khác nhau đôi một là 3 số cần tìm.

Suy ra đpcm


              

              

                                                                               

 

 

 

 

 

 

 


#3
Dung Du Duong

Dung Du Duong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 425 Bài viết

Câu 1: Chứng minh trong 5 số bất kì luôn chọn được 2 cặp số mà tổng của chúng có cùng số dư khi chia cho 3.

Câu 2: Nếu số tự nhiên a không chia hết cho 7 thì $a^{6}- 1$ chia hết cho 7

Câu 3: Chứng minh $3^{n}+4 $ không là số chính phương với mọi số tự nhiên n.

Câu 4:Tìm tất cả các số nguyên dương n để $n^{2}+1$ chia hết cho n+1

Câu 2:

Ta có $a^{6}-1=(a-1)(a+1)(a^{2}+a+1)(a^{2}-a+1)$
Vì a ko chia hết cho 7 nên ta xét các TH:
$a=7k\pm 1\Rightarrow (a-1)(a+1)\vdots 7\Rightarrow tm$
$a=7k-2\Rightarrow a^{2}-a+1=49k^{2}-35k+7\vdots 7\Rightarrow tm$
$a=7k+2,7k\pm 3 hoàn toàn tương tự$

              

              

                                                                               

 

 

 

 

 

 

 


#4
Chung Anh

Chung Anh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 420 Bài viết

 

Câu 3: Chứng minh $3^{n}+4 $ không là số chính phương với mọi số tự nhiên n.

 

Giả sử tồn tại n để $3^{n}+4 $ là số chính phương

Đặt $3^{n}+4=k^2$(k là số tự nhiên)

=>$3^{n}=(k+2)(k-2)$

*n=1 ko thoả mãn

*n>1=> (k-2)(k+2)chia hết cho 3

+Nếu k-2 chia hết cho 3 thì k+2=k-2+4>1 ko chia hết cho 3=>(k-2)(k+2) chứa thừa số nguyên tố khác 3=>(k-2)(k+2) khác $3^n$

+Nếu k+2 chia hết cho 3 =>k-2 không chia hết cho 3=>để $3^n=(k-2)(k+2)$ thì k-2=1=>k=3(không thoả mãn k+2 chia hết cho 3)

 

Vậy ko có số tự nhiên n thoả mãn $3^n+4$ là số chính phương=>đpcm


Chung Anh


#5
Chung Anh

Chung Anh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 420 Bài viết

 

Câu 4:Tìm tất cả các số nguyên dương n để $n^{2}+1$ chia hết cho n+1

Ta có  $n^2+1\vdots n+1$

$\Leftrightarrow n^2+2n+1-(2n+2)+2\vdots n+1$

$\Leftrightarrow (n+1)^2-2(n+1)+2\vdots n+1$  (do $(n+1)^2-2(n+1)\vdots n+1$)

$\Leftrightarrow 2\vdots n+1$

$\Rightarrow n+1\epsilon \left \{ 1;-1;2 ;-2\right \}$

$\Rightarrow n=1$


Chung Anh





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh