Cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa mãn $z \ge 60$, $x + y + z = 100$. Tìm GTLN của $A=xyz$
Cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa mãn $z \ge 60$, $x + y + z = 100$. Tìm GTLN của $A=xyz$
#1
Đã gửi 16-11-2014 - 22:15
#2
Đã gửi 21-11-2014 - 20:47
Ta nhận thấy dấu = xảy ra khi z=60 ; x=y=20
=> z=3x=3y
Ta có: $z+3x+3y\geq 3\sqrt[3]{9xyz}$
=> $100+2(100-z)\geq 3\sqrt[3]{9xyz}$
mà $-2z\leq 120$
=> 300-120$\geq 3\sqrt[3]{9xyz}$
<=> xyz$\leq 24000$
MaxA=24000 ( dấu = xảy ra khi z=60 ; x=y=20 )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Long Cold Ice: 21-11-2014 - 20:49
- Matthew James yêu thích
#3
Đã gửi 19-05-2023 - 08:35
Một bài toán cực trị rời rạc liên quan trọng số rất hay.
Vậy nếu chúng ta thay đổi một chút như sau:
Tìm GTLN của biểu thức $A = xyz$.
Thì kết quả sẽ như thế nào?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-05-2023 - 14:36
- perfectstrong, Matthew James và Leonguyen thích
N.K.S - Learning from learners!
#4
Đã gửi 20-05-2023 - 22:19
Cho $x, y, z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x + y + z = 100$.
Tìm GTLN của biểu thức $A = xyz$.
Giả sử $x$ là số lớn nhất trong ba số trên, suy ra được $x\geq\frac{100}{3}$ $\Rightarrow x\geq 34$ (do $x$ là số nguyên dương).
(Từ đây ta đoán được dấu bằng xảy ra khi $x=34,$ $y=z=33$).
Áp dụng BĐT $\text{AM-GM}$ ta có:
$A=xyz\leq\frac{1}{4}x(y+z)^2=\frac{1}{4}x(100-x)^2=\frac{34}{33}\cdot\left(\frac{33x}{34}\cdot\frac{100-x}{2}\cdot\frac{100-x}{2}\right)$ $\leq \frac{34}{33}\cdot\frac{1}{27}\left(\frac{33x}{34}+\frac{100-x}{2}+\frac{100-x}{2}\right)^3$ $=\frac{34}{891}\left(100-\frac{x}{34}\right)^3$ $\leq\frac{34}{891}\left(100-\frac{34}{34}\right)^3=37026.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} y=z \\ \dfrac{33x}{34}=\dfrac{100-x}{2} \\ x=34 \end{matrix}\right. $ $\Leftrightarrow x=34,y=z=33.$
Vậy $\max A=37026\Leftrightarrow (x,y,z)=(34,33,33)$ và các hoán vị.
- perfectstrong, duy030408 và thvn thích
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
#6
Đã gửi 21-05-2023 - 11:56
Thử thay đổi một chút
Tìm GTLN của biểu thức $A = xyz$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-05-2023 - 15:15
LaTeX
- perfectstrong, truongphat266 và huytran08 thích
N.K.S - Learning from learners!
#7
Đã gửi 21-05-2023 - 15:16
Tôi nghĩ là bằng cách đặt $2z = t, B = 2A$ ta chuyển về bài toán:Khi đó theo các kết quả trên thì A sẽ đạt GTLN tại $x = y = 33, t = 34$(hay $z = 17$)Không biết có phản ví dụ nào cho cách suy nghĩ này không?Nếu tổng quát $x + y + kz = 100 (k\in N, 0\lt k\lt 100$) có được không?
Suy nghĩ thầy đúng rồi Nếu nhìn vào điểm rơi của bài toán gốc thì sẽ thấy được lời giải tương tự cho $k=3,11,17$ (các ước số của $33, 34$). Nhưng nếu $k$ là số khác thì phải giải lại
- thvn yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#8
Đã gửi 21-05-2023 - 15:40
Vì số các bộ (x,y,z) nguyên, không âm thỏa $x + y + kz = 100 (k\in N, 0\lt k\lt 100$) hữu hạn nên theo nguyên tắc cực hạn thì tích xyz luôn tồn tại GTNN và GTLN nhưng để giải thế nào cho thuyết phục thì cũng không dễ các bạn nhỉ!!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 21-05-2023 - 15:43
N.K.S - Learning from learners!
#9
Đã gửi 21-05-2023 - 18:17
Ta có bài toán tổng quát như sau:
Để ý rằng $x,y$ đối xứng, nên ta dự đoán điểm rơi là $x=y$ hoặc "xấp xỉ" nhau.
Và để chứng minh thì ta có thể dùng phương pháp dồn biến
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#10
Đã gửi 22-05-2023 - 05:57
Ta có bài toán tổng quát như sau:
Để ý rằng $x,y$ đối xứng, nên ta dự đoán điểm rơi là $x=y$ hoặc "xấp xỉ" nhau.
Và để chứng minh thì ta có thể dùng phương pháp dồn biến
Bạn nói đúng rồi, nhiều người cho rằng đây là bài toán phi đối xứng nhưng trên thực tế, về mặt toán học nó thuộc lớp các bài toán "có chứa yếu tố đối xứng hoặc đối xứng bộ phận".
- perfectstrong, truongphat266, Leonguyen và 1 người khác yêu thích
N.K.S - Learning from learners!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh