Đến nội dung

Hình ảnh

Cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa mãn $z \ge 60$, $x + y + z = 100$. Tìm GTLN của $A=xyz$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
hoangngochai

hoangngochai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa mãn $z \ge 60$, $x + y + z = 100$. Tìm GTLN của $A=xyz$



#2
Long Cold Ice

Long Cold Ice

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết

Ta nhận thấy dấu = xảy ra khi z=60 ; x=y=20

=> z=3x=3y

Ta có:    $z+3x+3y\geq 3\sqrt[3]{9xyz}$

=>  $100+2(100-z)\geq 3\sqrt[3]{9xyz}$

mà $-2z\leq 120$

=> 300-120$\geq 3\sqrt[3]{9xyz}$

<=> xyz$\leq 24000$

MaxA=24000   ( dấu = xảy ra khi z=60 ; x=y=20 )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Long Cold Ice: 21-11-2014 - 20:49


#3
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Một bài toán cực trị rời rạc liên quan trọng số rất hay.

Vậy nếu chúng ta thay đổi một chút như sau:

 

Bài toán
Cho $x, y, z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x + y + z = 100$.

Tìm GTLN của biểu thức $A = xyz$.

 

Thì kết quả sẽ như thế nào?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-05-2023 - 14:36

N.K.S - Learning from learners!


#4
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Cho $x, y, z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x + y + z = 100$.

Tìm GTLN của biểu thức $A = xyz$.

 

Giả sử $x$ là số lớn nhất trong ba số trên, suy ra được $x\geq\frac{100}{3}$ $\Rightarrow x\geq 34$ (do $x$ là số nguyên dương).

(Từ đây ta đoán được dấu bằng xảy ra khi $x=34,$ $y=z=33$).

Áp dụng BĐT $\text{AM-GM}$ ta có:

$A=xyz\leq\frac{1}{4}x(y+z)^2=\frac{1}{4}x(100-x)^2=\frac{34}{33}\cdot\left(\frac{33x}{34}\cdot\frac{100-x}{2}\cdot\frac{100-x}{2}\right)$ $\leq \frac{34}{33}\cdot\frac{1}{27}\left(\frac{33x}{34}+\frac{100-x}{2}+\frac{100-x}{2}\right)^3$ $=\frac{34}{891}\left(100-\frac{x}{34}\right)^3$ $\leq\frac{34}{891}\left(100-\frac{34}{34}\right)^3=37026.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} y=z \\ \dfrac{33x}{34}=\dfrac{100-x}{2} \\ x=34 \end{matrix}\right. $ $\Leftrightarrow x=34,y=z=33.$

Vậy $\max A=37026\Leftrightarrow (x,y,z)=(34,33,33)$ và các hoán vị.


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Thử thay đổi một chút :)

Bài toán
Cho $x, y, z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x + y + 2z = 100$.

Tìm GTLN của biểu thức $A = xyz$.

 


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Thử thay đổi một chút :)

Bài toán
Cho $x, y, z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x + y + 2z = 100$.

Tìm GTLN của biểu thức $A = xyz$.

 
Tôi nghĩ là bằng cách đặt $2z = t, B = 2A$ ta chuyển về bài toán: 
Bài toán
Cho $x, y, t$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x + y + t = 100$. Tìm GTLN của biểu thức $B = xyt$.
Khi đó theo các kết quả trên thì A sẽ đạt GTLN tại $x = y = 33, t = 34$(hay $z = 17$)
Không biết có phản ví dụ nào cho cách suy nghĩ này không?
Nếu tổng quát $x + y + kz = 100 (k\in N, 0\lt k\lt 100$) có được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-05-2023 - 15:15
LaTeX

N.K.S - Learning from learners!


#7
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

 

 
Tôi nghĩ là bằng cách đặt $2z = t, B = 2A$ ta chuyển về bài toán: 
Bài toán
Cho $x, y, t$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x + y + t = 100$. Tìm GTLN của biểu thức $B = xyt$.
Khi đó theo các kết quả trên thì A sẽ đạt GTLN tại $x = y = 33, t = 34$(hay $z = 17$)
Không biết có phản ví dụ nào cho cách suy nghĩ này không?
Nếu tổng quát $x + y + kz = 100 (k\in N, 0\lt k\lt 100$) có được không?

 

Suy nghĩ thầy đúng rồi :D Nếu nhìn vào điểm rơi của bài toán gốc thì sẽ thấy được lời giải tương tự cho $k=3,11,17$ (các ước số của $33, 34$). Nhưng nếu $k$ là số khác thì phải giải lại :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#8
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

:D  :D  :D

Vì số các bộ (x,y,z) nguyên, không âm thỏa $x + y + kz = 100 (k\in N, 0\lt k\lt 100$) hữu hạn nên theo nguyên tắc cực hạn thì tích xyz luôn tồn tại GTNN và GTLN nhưng để giải thế nào cho thuyết phục thì cũng không dễ các bạn nhỉ!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 21-05-2023 - 15:43

N.K.S - Learning from learners!


#9
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Ta có bài toán tổng quát như sau:

Bài toán
Cho $x, y, z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x + y + kz = 100$ với $k$ là một số nguyên dương cho trước $(1 \le k < 100)$. Tìm GTLN của biểu thức $A = xyz$.

Để ý rằng $x,y$ đối xứng, nên ta dự đoán điểm rơi là $x=y$ hoặc "xấp xỉ" nhau.

 

Và để chứng minh thì ta có thể dùng phương pháp dồn biến :)


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#10
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Ta có bài toán tổng quát như sau:

Để ý rằng $x,y$ đối xứng, nên ta dự đoán điểm rơi là $x=y$ hoặc "xấp xỉ" nhau.

 

Và để chứng minh thì ta có thể dùng phương pháp dồn biến :)

 

Bạn nói đúng rồi, nhiều người cho rằng đây là bài toán phi đối xứng nhưng trên thực tế, về mặt toán học nó thuộc lớp các bài toán "có chứa yếu tố đối xứng hoặc đối xứng bộ phận".


N.K.S - Learning from learners!





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh