Không gian Affine
Nguyễn Khánh Hoàn - Thành viên Chuyên san EXP
Mô tả chính:
(i) Đoạn thẳng trên một không gian affine hai chiều:
- Trong toán học, một không gian affine (affine space) là một cấu trúc hình học tổng quát được tính chất của các đường thẳng song song trong không gian Ơ-clit (Euclidean space). Trong một không gian affine, tại đó không có điểm đặc biệt được đáp ứng như là một gốc. Do đó, không vector nào có một gốc cố định và không vector nào có thể liên kết được duy nhất với một điểm. Trong không gian affine, có các vector di động giữa hai điểm trong không gian. Vì vậy, nó cấu tạo chiều trừ hai điểm của không gian, cho một vector , nhưng nó không cấu tạo thêm chiều của hai điểm trong không gian. Tương tự nó không cấu tạo thêm một vector đến một điểm của một không gian affine, kết quả trong một điểm mới di động từ điểm bắt đầu bởi vector đó.
- Ví dụ của một không gian affine là một không gian con tuyến tinh1cua3 một không gian vector được hiểu ra xa từ gộc. Trong kích thước hữu hạn, như một không gian con affine (affine subspace) tương ứng từ tập hợp đáp án của một phương thức tuyến tính không đồng nhất. Vector di động thay thế hoạt động không gian affine trong tập hợp đáp án luôn luôn bao gồm gốc của không gian vector.
- Mô tả sau có thể được hiểu dễ dàng hơn hình thức định nghĩa thông thường: một không gian affine là những gì còn lại của một không gian vector sau khi đã quên thời điểm là gốc (hoặc trong lời của nhà toán học người Pháp Macel Berger, “Một không gian affine không có gì hơn một không gian vector có gốc mà chúng ta cố gắng quên đi, bởi sự thêm vào các lời giải về ánh xạ tuyến tính”). Tưởng tượng rằng Alice biết rằng một điểm đã biết gốc thực, nhưng Bob tin rằng điểm khác – gọi nó là p – là điểm gốc. Hai vector, a và b, được thêm vào. Bob kéo một mũi tên từ p tới a và mũi tên khác từ p tới b và hoàn thành hình bình hành để tìm ra cái Bob nghĩ là a + b, nhưng Alice biết rằng cậu ấy đã thực sự tính toán:
$p+\left( a-p \right)+\left( b-p \right)$
- Tương tự, Alice và Bob có thể tính được bất kỳ tổ hợp tuyến tính (linear combination) của a và b, hoặc của bất kỳ tập hợp hữu hạn của các vector, và nói chung sẽ nhận được các câu trả lời khác nhau. Tuy nhiên, nếu tổng hợp của các hệ số trong một tổ hợp tuyến tính là 1, khi đó Alice và Bob sẽ tìm thấy câu trả lời tương tự.
- Nếu Bob tìm đến:
$\lambda a+\left( 1-\lambda \right)b$
- Khi đó, tương tự Alice có thể đi đến:
$p+\lambda \left( a-p \right)+\left( 1-\lambda \right)\left( b-p \right)=\lambda a+\left( 1-\lambda \right)b$
- Khi đó, thay thế tất cả các hệ số $\lambda +\left( 1-\lambda \right)=1$, Alice và Bob mô tả cùng thời điểm giống như tổ hợp tuyến tính, bắt đầu từ những gốc khác nhau.
- Khi Alice biết đến “ cấu trúc tuyến tính (linear structure)”, cả Alice và Bob “cấu trúc affine (affine structure)” - i.e. Giá trị của các tổ hợp affine (affine combinations), định nghĩa như tổ hợp tuyến tính trong tổng các hệ số là 1. Một tập hợp nằm trong một cấu trúc affine là một không gian affine.
- Một không gian affine là một tập hợp A kết hợp với một không gian vector V trên trường F và đúng và truyền các nhóm hành động của V (với sự bổ sung các vector như nhóm hoạt động) trên A. (Đó là, một không gian affine là một yếu tố quan trọng trong không gian thuần nhất (homogeneous space) thay thế cho hoạt động của V).
- Rõ ràng, một không gian affine là một tập hợp điểm $A$ kết hợp với một ánh xạ:
$l:V\times AA$$~~~~\left( v;a \right)v+a$
- Với các tính chất sau:
- Đồng nhất thức trái:
$\forall a\in A,~~0+a=a$
- Kết hợp:
$\forall v;w\in V,~~\forall a\in A,~~v+\left( w+a \right)=\left( v+w \right)+a$
- Ngoại lệ:
$\forall a\in A;VA:vv+a$
- (Từ nhóm $V$ là abelian, tại đó không có sự khác nhau của các hoạt động trái và phải, vì vậy nó chỉ cho phép đến không gian vector bên phải)
- Bằng cách chọn một góc, $o$, người ta có thể xác định như $A$ với $V$, từ đó chiều hướng $A$ vào một không giac vector. Ngược lại, bất kỳ không gian vector, $V$, là một không gian affine trên chính nó.
- Tính chất duy nhất đảm bảo rằng phép trừ của bất kỳ hai phần tử của A là xác định rõ ràng, kéo dài một vector của $V$:
- $a-b$ là vector duy nhất trong $V$ như là $\left( a-b \right)+b=a$
- Người ta có thể tương đương định nghĩa một không gian affine như một tập hợp điểm A, cùng với một không gian vector, và một ánh xạ phép trừ:
$~:A~\times A~\to V,~\left( a,b \right)b-a\equiv ~\overrightarrow{ab}$
Với những tính chất sau:
- $\forall p~\in A,~~\forall \mathbf{v}~\in V$ đây là một điểm duy nhất $q~\in A$ như là $q-p=\mathbf{v}$ và
- $\forall p,~q,~r~\in A,~\left( q-p \right)+~\left( r-q \right)=r-p~$.
- Hai tính chất đó được gọi là tiên đề Weyl.
- Cho chọn bất kỳ điểm gốc o, và hai điểm $a,~b$ trong A và một l vô hướng, có một phần tử duy nhất của A được biểu diễn bởi $\lambda a+\left( 1-\lambda \right)b$ như là:
$\left( \lambda a+\left( 1-\lambda \right)b \right)-o=\lambda \left( a-o \right)+\left( 1-\lambda \right)\left( b-o \right)$
- Phần tử này có thể được biểu diễn không phụ thuộc vào cách chọn gốc o. Thay cho tổ hợp tuyến tính bất kỳ, chỉ tổ hợp affine của điểm có nghĩa.
Ví dụ:
- Khi những đứa trẻ tìm thấy câu trả lời cho các bài toán như $4+3$ hoặc $4-2$ , bằng cách đếm phải hoặc trái trên một dãy số, họ đang giải thích cho các dãy số như một không gian affine một chiều.
- Bất kỳ lớp của một không gian con V của một không gian vector là một không gian affine trên không gian con đó
- Nếu $T$ là một ma trận (matrix) và $b$ tạo ra trong không gian cột của nó, tập hợp của các lời giải của phương trình $Tx=b$ là một không gian affine trên không gian con của lời giải $Tx~=~0$.
- Lời giải của một dãy không thuần nhất phân biệt phương trình từ một khong7 gian vec tơ trên các lời giải của phương trình dãy không thuần nhất tương ứng.
- Tổng quát hơn, nếu $T:VW$ là một biểu đồ tuyến tính và $y$ tạo ra trong ảnh của nó, tập hợp các lời giải $x\in V$ đến phương trình $Tx=y$ là một lớp trung tâm của $T$, và do đó một không gian affine trên trường $T$.
(ii) Không gian affine con:
- Một không gian con afiine (đôi lúc được gọi là một đa tạp tuyến tính, đa dạng tuyến tính, hoặc một mặt phẳng) của một không gian vector V là một tập hợp con đóng kín dưới tổ hợp affine của vector trong không gian. Cho ví dụ, tập hợp:
$A=\left\{ \underset{i}{\overset{N}{\mathop \sum }}\,{{\alpha }_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }\underset{i}{\overset{N}{\mathop \sum }}\,{{\alpha }_{i}}=1 \right\}$
- Là một không gian affine, tại ${{\left\{ {{\mathbf{v}}_{i}} \right\}}_{i~}}\in I$ là một họ của vector trong $V$; không gian này là khoảng cách affine của từng điểm. Xem điều này thực sự là một không gian affine, xét tập hợp mang một phép truyền của không gian vector con $W$ của $V$:
$W=\left\{ \underset{i}{\overset{N}{\mathop \sum }}\,{{\beta }_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }\underset{i}{\overset{N}{\mathop \sum }}\,{{\beta }_{i}}=0 \right\}$
- Không gian con affine này có thể dược mô tả tương tự như lớp của $W$- hành động:
$S=p+W$
- Khi p là bất kỳ phần tử của A, hoặc tương đương như bất kỳ tập hợp vị trí của ánh xạ thương số $VV/W$. Một sự chon lựa của p cho một điểm gốc của $A$ và một sự lien kết $W$ với $A$ , nhưng không có một cách chọn ngẫu nhiên, cũng không là sự liên kết ngẫu nhiên của $W$ với $A$.
- Một phép phản xạ tuyến tính là một phương trình bảo toàn tất cả các tổ hợp tuyến tính (linear combinations); một phép phản xạ affine là phương trình bảo toàn tất cả các tổ hợp affine (affine combination). Một không gian con tuyến tính là một không gian con affine bao gồm gốc hoặc tương đương một không gian con đóng kín dưới tổ hợp tuyến tính.
- Cho ví dụ, trong ${{\mathbb{R}}^{3}}$, gốc, dãy và mặt phẳng qua gốc và toàn bộ không gian là không gian con tuyến tính, khi diểm, dãy và mặt phẳng trong tổng quát cũng như toàn bộ không gian là không gian con affine.
(iii) Tổ hợp affine và sự phụ thuộc affine:
- Một tổ hợp affine là một tổ hợp tuyến tính mà tổng các hễ số trong nó là 1. Giống như các phần tử của một tập hợp của các vector là dãy độc lập (linearly independent) nếu không có tổ hợp tuyến tính của những cái trước đó, vì vậy chúng cũng lá affine độc lập nếu không là một tổ hợp affine trước đó.Tập hợp của tổ hợp tuyến tính một tập các vector là “khoảng cách tuyến tính” của chúng và luôn luôn là không gian con tuyến tính; tập hợp của tất cả các tổ hợp affine là “ khoảng cách affine” của chúng và luôn luôn là không gian con affine. Cho ví dụ, khoảng cách affine của một bộ hai điểm là dãy chứa cả hai điểm; khoảng cách affine của một bổ không thẳng hàng là mặt phẳng chứa cả ba.
- Vector:
${{v}_{1}};{{v}_{2}};\ldots ;{{v}_{n}}$
- Là sự phụ thuộc dãy nếu tồn tại các vô hướng ${{a}_{1}};{{a}_{2}};\ldots ;{{a}_{n}}$ không dồng thời là $0$, mà:
${{a}_{1}}{{v}_{1}}+~{{a}_{2}}{{v}_{2}}+\ldots +~{{a}_{n}}{{v}_{n}}=0,~~\left( 1 \right)$
- Tương tự chúng phục thuộc affine nếu trong tổng của các hệ số là $0$:
$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{a}_{i}}=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 17-11-2014 - 16:04