Đến nội dung

Hình ảnh

Không gian Affine

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Không gian Affine

Nguyễn Khánh Hoàn - Thành viên Chuyên san EXP

Mô tả chính:
(i) Đoạn thẳng trên một không gian affine hai chiều:
- Trong toán học, một không gian affine (affine space) là một cấu trúc hình học tổng quát được tính chất của các đường thẳng song song trong không gian Ơ-clit (Euclidean space). Trong một không gian affine, tại đó không có điểm đặc biệt được đáp ứng như là một gốc. Do đó, không vector nào có một gốc cố định và không vector nào có thể liên kết được duy nhất với một điểm. Trong không gian affine, có các vector di động giữa hai điểm trong không gian. Vì vậy, nó cấu tạo chiều trừ hai điểm của không gian, cho một vector , nhưng nó không cấu tạo thêm chiều của hai điểm trong không gian. Tương tự nó không cấu tạo thêm một vector đến một điểm của một không gian affine, kết quả trong một điểm mới di động từ điểm bắt đầu bởi vector đó.
- Ví dụ của một không gian affine là một không gian con tuyến tinh1cua3 một không gian vector được hiểu ra xa từ gộc. Trong kích thước hữu hạn, như một không gian con affine (affine subspace) tương ứng từ tập hợp đáp án của một phương thức tuyến tính không đồng nhất. Vector di động thay thế hoạt động không gian affine trong tập hợp đáp án luôn luôn bao gồm gốc của không gian vector.
- Mô tả sau có thể được hiểu dễ dàng hơn hình thức định nghĩa thông thường: một không gian affine là những gì còn lại của một không gian vector sau khi đã quên thời điểm là gốc (hoặc trong lời của nhà toán học người Pháp Macel Berger, “Một không gian affine không có gì hơn một không gian vector có gốc mà chúng ta cố gắng quên đi, bởi sự thêm vào các lời giải về ánh xạ tuyến tính”). Tưởng tượng rằng Alice biết rằng một điểm đã biết gốc thực, nhưng Bob tin rằng điểm khác – gọi nó là p – là điểm gốc. Hai vector, a và b, được thêm vào. Bob kéo một mũi tên từ p tới a và mũi tên khác từ p tới b và hoàn thành hình bình hành để tìm ra cái Bob nghĩ là a + b, nhưng Alice biết rằng cậu ấy đã thực sự tính toán:
$p+\left( a-p \right)+\left( b-p \right)$
- Tương tự, Alice và Bob có thể tính được bất kỳ tổ hợp tuyến tính (linear combination) của a và b, hoặc của bất kỳ tập hợp hữu hạn của các vector, và nói chung sẽ nhận được các câu trả lời khác nhau. Tuy nhiên, nếu tổng hợp của các hệ số trong một tổ hợp tuyến tính là 1, khi đó Alice và Bob sẽ tìm thấy câu trả lời tương tự.
- Nếu Bob tìm đến:
$\lambda a+\left( 1-\lambda  \right)b$
- Khi đó, tương tự Alice có thể đi đến:
$p+\lambda \left( a-p \right)+\left( 1-\lambda  \right)\left( b-p \right)=\lambda a+\left( 1-\lambda  \right)b$
- Khi đó, thay thế tất cả các hệ số $\lambda +\left( 1-\lambda  \right)=1$, Alice và Bob mô tả cùng thời điểm giống như tổ hợp tuyến tính, bắt đầu từ những gốc khác nhau.
- Khi Alice biết đến “ cấu trúc tuyến tính (linear structure)”, cả Alice và Bob “cấu trúc affine (affine structure)” - i.e. Giá trị của các tổ hợp affine (affine combinations), định nghĩa như tổ hợp tuyến tính trong tổng các hệ số là 1. Một tập hợp nằm trong một cấu trúc affine là một không gian affine.
- Một không gian affine là một tập hợp A kết hợp với một không gian vector V trên trường F và đúng và truyền các nhóm hành động của V (với sự bổ sung các vector như nhóm hoạt động) trên A. (Đó là, một không gian affine là một yếu tố quan trọng trong không gian thuần nhất (homogeneous space) thay thế cho hoạt động của V).
- Rõ ràng, một không gian affine là một tập hợp điểm $A$ kết hợp với một ánh xạ:
$l:V\times AA$$~~~~\left( v;a \right)v+a$
- Với các tính chất sau:
- Đồng nhất thức trái:
$\forall a\in A,~~0+a=a$
- Kết hợp:
$\forall v;w\in V,~~\forall a\in A,~~v+\left( w+a \right)=\left( v+w \right)+a$
- Ngoại lệ:
$\forall a\in A;VA:vv+a$
- (Từ nhóm $V$ là abelian, tại đó không có sự khác nhau của các hoạt động trái và phải, vì vậy nó chỉ cho phép đến không gian vector bên phải)
- Bằng cách chọn một góc, $o$, người ta có thể xác định như $A$ với $V$, từ đó chiều hướng $A$ vào một không giac vector. Ngược lại, bất kỳ không gian vector, $V$, là một không gian affine trên chính nó.
- Tính chất duy nhất đảm bảo rằng phép trừ của bất kỳ hai phần tử của A là xác định rõ ràng, kéo dài một vector của $V$:
- $a-b$ là vector duy nhất trong $V$ như là $\left( a-b \right)+b=a$
- Người ta có thể tương đương định nghĩa một không gian affine như một tập hợp điểm A, cùng với một không gian vector, và một ánh xạ phép trừ:
$~:A~\times A~\to V,~\left( a,b \right)b-a\equiv ~\overrightarrow{ab}$
Với những tính chất sau:
- $\forall p~\in A,~~\forall \mathbf{v}~\in V$ đây là một điểm duy nhất $q~\in A$ như là $q-p=\mathbf{v}$ và
- $\forall p,~q,~r~\in A,~\left( q-p \right)+~\left( r-q \right)=r-p~$.
- Hai tính chất đó được gọi là tiên đề Weyl.
- Cho chọn bất kỳ điểm gốc o, và hai điểm $a,~b$ trong A và một l vô hướng, có một phần tử duy nhất của A được biểu diễn bởi $\lambda a+\left( 1-\lambda  \right)b$ như là:
$\left( \lambda a+\left( 1-\lambda  \right)b \right)-o=\lambda \left( a-o \right)+\left( 1-\lambda  \right)\left( b-o \right)$
- Phần tử này có thể được biểu diễn không phụ thuộc vào cách chọn gốc o. Thay cho tổ hợp tuyến tính bất kỳ, chỉ tổ hợp affine của điểm có nghĩa.
Ví dụ:
- Khi những đứa trẻ tìm thấy câu trả lời cho các bài toán như $4+3$ hoặc $4-2$ , bằng cách đếm phải hoặc trái trên một dãy số, họ đang giải thích cho các dãy số như một không gian affine một chiều.
- Bất kỳ lớp của một không gian con V của một không gian vector là một không gian affine trên không gian con đó
- Nếu $T$ là một ma trận (matrix) và $b$ tạo ra trong không gian cột của nó, tập hợp của các lời giải của phương trình $Tx=b$ là một không gian affine trên không gian con của lời giải $Tx~=~0$.
- Lời giải của một dãy không thuần nhất phân biệt phương trình từ một khong7 gian vec tơ trên các lời giải của phương trình dãy không thuần nhất tương ứng.
- Tổng quát hơn, nếu $T:VW$ là một biểu đồ tuyến tính và $y$ tạo ra trong ảnh của nó, tập hợp các lời giải $x\in V$ đến phương trình $Tx=y$ là một lớp trung tâm của $T$, và do đó một không gian affine trên trường $T$.
(ii) Không gian affine con:
- Một không gian con afiine (đôi lúc được gọi là một đa tạp tuyến tính, đa dạng tuyến tính, hoặc một mặt phẳng) của một không gian vector V là một tập hợp con đóng kín dưới tổ hợp affine của vector trong không gian. Cho ví dụ, tập hợp:
$A=\left\{ \underset{i}{\overset{N}{\mathop \sum }}\,{{\alpha }_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }\underset{i}{\overset{N}{\mathop \sum }}\,{{\alpha }_{i}}=1 \right\}$
- Là một không gian affine, tại ${{\left\{ {{\mathbf{v}}_{i}} \right\}}_{i~}}\in I$ là một họ của vector trong $V$; không gian này là khoảng cách affine của từng điểm. Xem điều này thực sự là một không gian affine, xét tập hợp mang một phép truyền của không gian vector con $W$ của $V$:
$W=\left\{ \underset{i}{\overset{N}{\mathop \sum }}\,{{\beta }_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }\underset{i}{\overset{N}{\mathop \sum }}\,{{\beta }_{i}}=0 \right\}$
- Không gian con affine này có thể dược mô tả tương tự như lớp của $W$- hành động:
$S=p+W$
- Khi p là bất kỳ phần tử của A, hoặc tương đương như bất kỳ tập hợp vị trí của ánh xạ thương số $VV/W$. Một sự chon lựa của p cho một điểm gốc của $A$ và một sự lien kết $W$ với $A$ , nhưng không có một cách chọn ngẫu nhiên, cũng không là sự liên kết ngẫu nhiên của $W$ với $A$.
- Một phép phản xạ tuyến tính là một phương trình bảo toàn tất cả các tổ hợp tuyến tính (linear combinations); một phép phản xạ affine là phương trình bảo toàn tất cả các tổ hợp affine (affine combination). Một không gian con tuyến tính là một không gian con affine bao gồm gốc hoặc tương đương một không gian con đóng kín dưới tổ hợp tuyến tính.
- Cho ví dụ, trong ${{\mathbb{R}}^{3}}$, gốc, dãy và mặt phẳng qua gốc và toàn bộ không gian là không gian con tuyến tính, khi diểm, dãy và mặt phẳng trong tổng quát cũng như toàn bộ không gian là không gian con affine.
(iii) Tổ hợp affine và sự phụ thuộc affine:
- Một tổ hợp affine là một tổ hợp tuyến tính mà tổng các hễ số trong nó là 1. Giống như các phần tử của một tập hợp của các vector là dãy độc lập (linearly independent) nếu không có tổ hợp tuyến tính của những cái trước đó, vì vậy chúng cũng lá affine độc lập nếu không là một tổ hợp affine trước đó.Tập hợp của tổ hợp tuyến tính một tập các vector là “khoảng cách tuyến tính” của chúng và luôn luôn là không gian con tuyến tính; tập hợp của tất cả các tổ hợp affine là “ khoảng cách affine” của chúng và luôn luôn là không gian con affine. Cho ví dụ, khoảng cách affine của một bộ hai điểm là dãy chứa cả hai điểm; khoảng cách affine của một bổ không thẳng hàng là mặt phẳng chứa cả ba.
- Vector:
${{v}_{1}};{{v}_{2}};\ldots ;{{v}_{n}}$
- Là sự phụ thuộc dãy nếu tồn tại các vô hướng ${{a}_{1}};{{a}_{2}};\ldots ;{{a}_{n}}$ không dồng thời là $0$, mà:
${{a}_{1}}{{v}_{1}}+~{{a}_{2}}{{v}_{2}}+\ldots +~{{a}_{n}}{{v}_{n}}=0,~~\left( 1 \right)$
- Tương tự chúng phục thuộc affine nếu trong tổng của các hệ số là $0$:
$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{a}_{i}}=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 17-11-2014 - 16:04

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#2
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

(iv) Đối tượng hình học như điểm và vector:
- Trong một không gian affine, mục đích hình học có hai sự khác nhau (mặc dù có liên quan nhau) sự mô tả về ngôn ngữ của các điểm (phần tử của A) và vector (phần tử của V). Một sự mô tả vector có thể có thể chỉ rõ một đối tượng cũng như chỉ rõ sự tịnh tiến.

affi2.png

Tiên đề:
- Không gian affine luôn dược học như hình học giải tích (analytic geometry) dử dụng toạn độ, hoặc tương dương không gian vector. Nó có thể được học như hình học tổng hợp (synthetic geometry) bằng cách viết ra các tiên đề, mặc dù phương pháp này ít phổ biến. Có nhiều cách tổng hợp khác nhau của các tiên đề cho không gian affine.
- Coxeter (1969, p.192) tiên đề hình học affine (vượt quá thực tế) như hình học trực tự cùng với một dạng affine của định lý Desargues và phát biểu tiên đề trong mặt phẳng có ít nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước không gặp một đường thẳng đã cho.
- Mặt phẳng affine thỏa mãn tiên đề sau (Camero 1991, chương 2): (trong đó hai dường thẳng được gọi là song song nếu chúng bằng nha hoặc tách rời nhau):
- Bất kỳ hai điểm phân biệt thộc một đường thẳng duy nhất.
- Cho một điểm và đường thẳng có đường thẳng duy nhất qua điểm qua song song với đường thẳng.
- Tại đó tồn tại ba điểm không thẳng hàng.
- Giống như không gian affine trên các lính vực (hoặc chia nhỏ ra), có nhiều mặt phẳng không desarguesian thỏa mãn tiên đề này. (Cameron 1991, chương 3) cung cấp các tiên đề vector theo chiều cao hơn.

affi3.png

Mối quan hệ đến không gian xạ ảnh:
- Một không gian affine là một không gian con của không gian xạ ảnh, trong chiều hướng một thương của một không gian vector
-
Không gian affine là không gian con của không gian xạ ảnh (projective spaces): nghĩa là mặt phẳng affine có thể nhận được từ bất kỳ mặt phẳng xạ ảnh (projective plane) bởi sự di chuyển một đường thẳng và tất cà các điểm trên nó, và ngược lại bất kỳ mặt phẳng affine có thể sử dụng để vẽ mặt phẳng xạ anh3nhu7 một sự đóng kín bợi thêm vào một đường thẳng tại vô hạng của điểm tương ứng dến hạng của đường thẳng song song.
- Hơn nữa, ánh xạ của không gian xạ ảnh bảo toàn không gian affine (tương đương, rời khỏi siêu phẳng (hyperplane) tại vô cực hằng số như một tập hợp) mang lại phép ánh xạ của không gian affine. Ngược lại, bất kỳ dày affine phép ánh xạ mở rộng duy nhất tới biến đổi một dãy xạ ảnh, vì vậy nhóm affine là một nhóm con của nhóm xạ ảnh. Cho ví dụ, ánh xạ Möbius (ánh xạ của dãy xạ ảnh phức tạp, hoặc Riemann mặt cầu) là affine (ánh xạ của mặt phẳng phức tap nếu và chỉ nếu chúng cố định tại điểm vô cùng.
- Tuy nhiên, người ta không thể xác định được xạ ảnh của một không gian affine, vì vậy không gian xạ ảnh không là thương số ngẫu nhiên của không gian affine: người ta có thể chỉ thu được xạ ảnh của một không giac vector, từ đó không gian xạ ảnh là các đường thẳng qua điểm cho trước, và không có điểm được đánh dấu trong một không gian affine. Nếu người ta chọn điểm gốc (như là 0), khi đó một không gian affine trở thành một không gian vector, mà một trong số đó có thể xạ ảnh, nhưng điều này đòi hỏi một sự lựa chọn.

 

Tập lồi tuyệt đối
1) Tập lồi tuyệt đối:
- Một tập hợp $C$ trong thực tế hay trong không gian véc tơ phức tạp được gọi là tập lồi (absolutely convex) nếu nó là lồi và cân bằng.
- 2) Tính chất:
- Một tập hợp $C$ là lồi nếu và chỉ nếu thay thế bất kỳ các điểm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ trong $C$ và bất kỳ các số ${{\lambda }_{1}};{{\lambda }_{2}}$ thỏa mãn $\left| _{1} \right|+\left| _{2} \right|\le 1$ thì tổng $_{1}{{x}_{1}}{{+}_{2}}{{x}_{2}}$ thuộc $C$.
-  Từ đó giao một tập hợp của tập lồi tuyệt đối là tập hợp lồi khi một tập hợp con A của một véc tơ không gian người ta có thể xác định nó là vỏ lồi tuyệt đối (absolutely convex hull) là giao của tất cả các tập lồi tu

yệt đối bao gồm A.
- 3) Vỏ lồi tuyệt đối:
- Vỏ lồi tuyệt đối của tập hợp A thừa nhận giả định sau:
- $\text{absconv}\left( A \right)=\left\{ {{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,}_{i}}{{x}_{i}}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }n\in \mathbb{N},~~{{x}_{i}}~\in A,~~\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,\left| _{i} \right|~\le \left. 1 \right\} \right\}$
- Ví dụ:

affi5.png

Vùng màu xám là vỏ tập lồi của hình chữ thập

Bài viết này được dịch từ http://en.wikipedia....ki/Affine_space


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 17-11-2014 - 16:08

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh