Đến nội dung

Hình ảnh

$P = \frac{1}{a^{4}(2b+1)(3c+1)} + \frac{1}{16b^{4}(3c+1)(a+1)} + \frac{1}{81c^{4}(a+1)(2b+1)}$

thtt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Dung Du Duong

Dung Du Duong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 425 Bài viết
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc=$\frac{1}{6}$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P = \frac{1}{a^{4}(2b+1)(3c+1)} + \frac{1}{16b^{4}(3c+1)(a+1)} + \frac{1}{81c^{4}(a+1)(2b+1)}$
Đây là bài cuối trong mục Thử sức trước kì thi của THTT số 449.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 17-11-2014 - 21:43

              

              

                                                                               

 

 

 

 

 

 

 


#2
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

 

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc=$\frac{1}{6}$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P = \frac{1}{a^{4}(2b+1)(3c+1)} + \frac{1}{16b^{4}(3c+1)(a+1)} + \frac{1}{81c^{4}(a+1)(2b+1)}$
Đây là bài cuối trong mục Thử sức trước kì thi của THTT số 449.
Mình vừa mới nghĩ ra 1 cách, mong các bạn xem xét giùm ha!

 

Bài này chỉ việc đặt ẩn phụ khá đơn giản



#3
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

 

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc=$\frac{1}{6}$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P = \frac{1}{a^{4}(2b+1)(3c+1)} + \frac{1}{16b^{4}(3c+1)(a+1)} + \frac{1}{81c^{4}(a+1)(2b+1)}$
Đây là bài cuối trong mục Thử sức trước kì thi của THTT số 449.

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{x} & & & \\ 2b=\frac{1}{y} & & & \\ 3c=\frac{1}{z}& & & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow xyz=1$

Áp dung BDT Cô-si cho 3 số dương:

$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow x+y+z\geq 3\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2\geq 9\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq 3$

Khi đó P=$\sum \frac{1}{\frac{1}{x^4}(\frac{1}{y}+1)(\frac{1}{z}+1)}\Rightarrow \sum \frac{x^4}{1+\frac{1}{yz}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{3+2\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{xy}}= \sum \frac{(\sum x^2)^2}{3+x+y+z+2(xy+yz+xz)}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{3+\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}+2(x^2+y^2+z^2)}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{x^2+y^2+z^2+\sqrt{(\sum x^2)^2}+2(x^2+y^2+z^2)}= \frac{(\sum x^2)^2 }{4(x^2+y^2+z^2)}\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{4}\geq \frac{3}{4}$

DBXR khi x=y=z$\Leftrightarrow a=2b=3c\Leftrightarrow a=1;b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{3}$



#4
shinichikudo201

shinichikudo201

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 521 Bài viết

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{x} & & & \\ 2b=\frac{1}{y} & & & \\ 3c=\frac{1}{z}& & & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow xyz=1$

Áp dung BDT Cô-si cho 3 số dương:

$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow x+y+z\geq 3\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2\geq 9\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq 3$

Khi đó P=$\sum \frac{1}{\frac{1}{x^4}(\frac{1}{y}+1)(\frac{1}{z}+1)}\Rightarrow \sum \frac{x^4}{1+\frac{1}{yz}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{3+2\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{xy}}= \sum \frac{(\sum x^2)^2}{3+x+y+z+2(xy+yz+xz)}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{3+\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}+2(x^2+y^2+z^2)}\geq$$ \frac{(\sum x^2)^2}{x^2+y^2+z^2+\sqrt{(\sum x^2)^2}+2(x^2+y^2+z^2)}= \frac{(\sum x^2)^2 }{4(x^2+y^2+z^2)}\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{4}\geq \frac{3}{4}$

DBXR khi x=y=z$\Leftrightarrow a=2b=3c\Leftrightarrow a=1;b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 19-11-2014 - 19:22

It is the quality of one's convictions that determines successnot the number of followers






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: thtt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh