Chủ đề này có 2 trả lời

[caybutbixanh]

Bài 1 : Từ các chữ số $1,2,3$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau :

+ Trong mỗi số, mỗi chữ số có mặt đúng hai lần

+Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau

Bài 2 :Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số có 2011 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9.

[chanhquocnghiem]

Bài 1 : Từ các chữ số $1,2,3$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau :

+ Trong mỗi số, mỗi chữ số có mặt đúng hai lần

+Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau

Bài 2 :Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số có 2011 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9.

$1)$

+ Số stn có $6$ cs gồm $2$ cs 1, $2$ cs 2, $2$ cs 3 là $M=\frac{6!}{(2!)^3}=90$ số (tạm gọi 90 số này là tập $A$)

 Gọi $N$ là số stn có đúng 1 cặp cs kề nhau giống nhau trong tập $A$, ta tính $N$ :

 + Chọn $2$ vị trí kề nhau : $5$ cách.

 + Điền 2 cs giống nhau vào $2$ vị trí đó : $3$ cách.

 + Điền vào $4$ vị trí còn lại : $2$ cách.

$\Rightarrow N=5.3.2=30$ số.

 Gọi $P$ là số stn có đúng $2$ cặp cs kề nhau giống nhau trong tập $A$, ta tính $P$

 + Chọn $2$ cặp vị trí kề nhau (sao cho 2 vị trí còn lại không kề nhau) : $3$ cách.

 + Điền 2 cs giống nhau vào mỗi cặp vị trí đó và 2 cs giống nhau vào 2 vị trí còn lại : $3!=6$ cách.

$\Rightarrow P=3.6=18$ số.

 Gọi $Q$ là số stn có $3$ cặp cs kề nhau giống nhau trong tập $A$ $\Rightarrow Q=3!=6$ số.

Đáp án là $M-N-P-Q=36$ số.

 

$2)$

+ Số stn có $2011$ cs và chia hết cho 9 là $M=\frac{10^{2011}-10^{2010}}{9}=10^{2010}$ (gọi đó là tập $B$)

Gọi $N$ là số stn thuộc tập $B$ không chứa cs $9$, ta tính $N$ :

  + Chọn cs đứng đầu : $8$ cách (khác 0 và khác 9)

  + Chọn $2009$ cs tiếp theo : $9^{2009}$ cách.

  + Chọn cs cuối cùng : $1$ cách.

$\Rightarrow N=8.9^{2009}$ số.

 Gọi $P$ là stn thuộc tập $B$ chỉ chứa đúng $1$ cs $9$, ta tính $P$

 Xét 2 TH :

 $a)$ Cs đầu tiên là $9$ :

  + Chọn $2009$ cs tiếp theo : $9^{2009}$ cách.

  + Chọn cs cuối cùng : $1$ cách.

 $b)$ Cs đầu tiên khác $9$ :

  + Chọn cs đầu tiên : $8$ cách.

  + Chọn vị trí cho cs $9$ : $2010$ cách.

  + Chọn $2008$ cs tiếp theo : $9^{2008}$ cách.

  + Chọn cs cuối cùng : $1$ cách.

$\Rightarrow P=9^{2009}+8.2010.9^{2008}=16089.9^{2008}$

Đáp án là $M-N-P=10^{2010}-16161.9^{2008}$

[Nobodyv3]

Bài 1 : Từ các chữ số $1,2,3$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau :
+ Trong mỗi số, mỗi chữ số có mặt đúng hai lần
+Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau

Xin đưa ra 2 cách tiếp cận :
A/ Sử dụng nguyên lý bù trừ :
Số các số không có ràng buộc gì :
$\frac {6!}{2!2!2!}=90$
Số các số có 1 cặp chữ số kế nhau :
$3\cdot \frac {5!}{2!2!}= 90$
Số các số có 2 cặp chữ số kế nhau :
$\binom{3}{2}\cdot \frac {4!}{2!}= 36$
Số các số có 3 cặp chữ số kế nhau :
$3!= 6$
Theo nguyên lý bù trừ, số các số thỏa yêu cầu đề bài là :
$90-90+36-6= \boxed {30}$
Hoặc
B/ Dùng hàm sinh :
Vì các chữ số 1,2,3 có vai trò như nhau nên ta có hàm sinh :
$f(x)=\left ( \frac{x^2}{2!}-\frac{x}{1!} \right )^3=\frac{1}{8}x^6-\frac{3}{4}x^5+\frac{3}{2}x^4-x^3$
Thay $x^k$ bằng $k!$ ta có số các số thỏa yêu cầu đề bài là :
$\frac{6!}{8}-\frac{3\cdot 5!}{4}+\frac{3\cdot 4!}{2}-3!= 90-90+36-6= \boxed {30}$