Cho các số thực dương $a; b; c$ thảo mãn $abc=2$. Chứng minh:
$a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+a\sqrt{b+c}$
Chứng minh rằng $a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+a\sqrt{b+c}$
Bắt đầu bởi shinichikudo201, 25-11-2014 - 15:36
#1
Đã gửi 25-11-2014 - 15:36
shinichikudo201
-
- Thành viên
-
- 521 Bài viết
Thiếu úy
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
#2
Đã gửi 28-04-2021 - 08:47
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho các số thực dương $a; b; c$ thảo mãn $abc=2$. Chứng minh:
$a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+a\sqrt{b+c}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta được: $(\sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c} )^2\leqslant 2(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)=\prod_{cyc}^{cyc}a(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)\leqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}{3} \leqslant \frac{(a+b+c)^6}{3^4}$
$\Rightarrow \sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c}\leq \frac{(a+b+c)^3}{3^2}\leqslant a^3+b^3+c^3$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
