Chủ đề này có 1 trả lời

[Joker9999]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa $xy+xz+yz=1$. và 0<x,y,z<1

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$\frac{xyz}{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 25-11-2014 - 18:40

[tim1nuathatlac]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa $xy+xz+yz=1$. và 0<x,y,z<1

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$\frac{xyz}{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}$

Nick này quen quen...

 

Áp dụng: 

$\left ( \sum xy \right )^{2}\geq 3xyz\left ( x+y+z \right )$ & $xyz\leq \frac{\sqrt{3}}{9}$

 

Ta có: 

$P=\frac{1}{\left ( \frac{1}{x}-x \right )\left ( \frac{1}{y}-y\right )\left ( \frac{1}{z}-z \right )}\geq ^{Am-Gm}\frac{27}{\left ( \sum \frac{1}{x}-\sum x \right )}^{3}$

 

$\geq \frac{27}{\left ( \frac{1-xyz\left ( x+y+z \right )}{xyz} \right )}^{3}\geq \frac{27}{\left ( \frac{1-\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{9}} \right )}^{3}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$

...............

                                     Dấu = xảy ra chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$