Đến nội dung


Hình ảnh

$\exists i,j (1 \le i < j \le n)$ để $\frac{1}{2}\leq \left |\frac{x_i}{x_j} \right |\leq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 deathavailable

deathavailable

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái
  • Sở thích:Chơi game!!

Đã gửi 27-11-2014 - 20:19

Cho dãy số thực phân biệt $x_1, x_2, ... x_n$ sao cho $x_1+x_2+...+x_n=0$ với $n \ge 2$. 
Chứng minh $\exists i,j (1 \le i < j \le n)$  để $\frac{1}{2}\leq \left |\frac{x_i}{x_j}  \right |\leq 2$ 


Ế là xu thế mang tầm cỡ quốc tế của các cấp bậc vai vế

 


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1960 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 27-09-2018 - 14:34

Cho dãy số thực phân biệt $x_1, x_2, ... x_n$ sao cho $x_1+x_2+...+x_n=0$ với $n \ge 2$. 
Chứng minh $\exists i,j (1 \le i < j \le n)$  để $\frac{1}{2}\leq \left |\frac{x_i}{x_j}  \right |\leq 2$ 

Giả sử không tồn tại $2$ số $i,j$ ($1\leqslant i< j\leqslant n$) sao cho $\frac{1}{2}\leqslant \left | \frac{x_i}{x_j} \right |\leqslant 2$ $\left ( ^\ast \right )$

Gọi giá trị tuyệt đối của $x_1,x_2,...,x_n$ theo thứ tự từ NHỎ đến LỚN là $a_1,a_2,...,a_n$

($0\leqslant a_1\leqslant a_2\leqslant ...\leqslant a_n$, trong đó $a_n=\left | x_m \right |$)

Từ điều giả sử $\left ( ^\ast \right )$, ta có :

$0\leqslant a_1< \frac{a_2}{2}< \frac{a_3}{2^2}< ...< \frac{a_n}{2^{n-1}}$

$\Rightarrow a_n> 2\ a_{n-1}> 2^2\ a_{n-2}> ...> 2^{n-1}\ a_1\geqslant 0$

$\Rightarrow a_n> a_{n-1}+a_{n-1}> a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-2}> a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+a_{n-3}> ...> a_{n-1}+a_{n-2}+...+2\ a_1\geqslant a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_1$

$\Rightarrow \left | x_1+x_2+...+x_n \right |=\left | x_m+\sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right |\geqslant \left | \left | x_m \right |-\left | \sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right | \right |\geqslant | a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1}) |$

     $=a_n-\sum_{k=1}^{n-1}a_k> 0$

Điều này mâu thuẫn với giả thiết $x_1+x_2+...+x_n=0$

Vậy điều giả sử $\left ( ^\ast \right )$ là sai

$\Rightarrow \exists i,j\ (1\leqslant i< j\leqslant n)$ sao cho $\frac{1}{2}\leqslant \left | \frac{x_i}{x_j} \right |\leqslant 2$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 27-09-2018 - 14:48

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 YoLo

YoLo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 27-09-2018 - 20:26

$\Rightarrow \left | x_1+x_2+...+x_n \right |=\left | x_m+\sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right |\geqslant \left | \left | x_m \right |-\left | \sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right | \right |\geqslant | a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1}) |$

Anh xem lại hộ e đoạn này

có $\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right |\leq a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}\Rightarrow \left | x_{m} \right |-\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right |\geq a_{n}-(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1})$

Khi đó nếu kết quả của vế trái $< 0$ thì khi trùm dấu trị tuyệt đối vào thì BĐT đổi chiều

có  $x_{m}=-(\sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k})\Rightarrow \left | x_{m} \right |=\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right | \Rightarrow 0\geq a_{n}-(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$

chả suy ra đc điều vô lý gì trong cm của anh ở phần trên

Vế $1$ =$0$ vế $3=0$ vậy anh đã cm $0\geq 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 27-09-2018 - 23:47

Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi :closedeyes:


#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1960 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 27-09-2018 - 22:40

Anh xem lại hộ e đoạn này

có $\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right |\leq a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}\Rightarrow \left | x_{m} \right |-\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right |\geq a_{n}-(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1})$

Khi đó nếu kết quả của vế trái $< 0$ thì khi trùm dấu trị tuyệt đối vào thì BĐT đổi chiều

có  $x_{m}=-(\sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k})\Rightarrow \left | x_{m} \right |=\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right | \Rightarrow 0\geq a_{n}-(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$

chả suy ra đc điều vô lý gì trong cm của anh ở phần trên

Vế $1$ =$0$ vế $3=0$ vậy anh đã cm $0\geq 0$

Ở phần trước đó, từ điều giả sử $\left ( ^\ast \right )$ suy ra :

$a_n> a_{n-1}+a_{n-1}> ...> a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_1$

$\Rightarrow a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1})> 0$ (đúng chưa ?)

Bây giờ, ta lại có :

$|x_1+x_2+...+x_n|\geqslant \left | \left | x_m \right |-\left | \sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right | \right |$

Mà $|x_m|-\left | \sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right |\geqslant a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1})$ $\left ( ^{\ast \ast } \right )$

Trong bất đẳng thức $\left ( ^{\ast \ast } \right )$, vế phải dương nên vế trái cũng dương (không thể âm được như bạn nói)

Vậy suy ra $|x_1+x_2+...+x_n|\geqslant \left | \left | x_m \right |-\left | \sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right | \right |\geqslant |a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1})|> 0$

Điều này mâu thuẫn với giả thiết $x_1+x_2+...+x_n=0$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh