Chủ đề này có 3 trả lời

[hoctrocuaZel]

Hãy phân tích số 89 thành tổng của các số nguyên dương sao cho tích của chúng là $max$.

[chardhdmovies]

Hãy phân tích số 89 thành tổng của các số nguyên dương sao cho tích của chúng là $max$.

với $a_1,a_2,...,a_k$ thỏa $a_1+a_2+...+a_k=89$ ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của $a_1.a_2...a_k$

lời giải

ta chứng minh trong cách phân tích đã chọn như trên thì tích $a_1.a_2...a_k$ chỉ gồm những thừa số nguyên tố $2$ và $3$ và không có quá $2$ thừa số nguyên tố $2$

$\triangleright$ Trong các số $a_1,a_2,...,a_k$ không có số hạng $1$ vì nếu có số hạng $1$ thì ta lấy một số hạng $a>1$ tùy ý khác,lúc này ta thay hai số $1,a$ bằng số $1+a$ và do $1.a<1+a$ nên khi thay vào thì tích $a_1.a_2...a_k$ sẽ tăng lên.Điều này mâu thuẫn với tích đã cho là lớn nhất

$\triangleright$ Trong cách phân tích đã cho không có số hạng $b\geq 4$,vì khi ta thay $b$ bằng hai số hạng $2,b-2$.Rõ ràng $2(b-2)\geq 4$.Vậy tổng chỉ chứa các số hạng $2$ và $3$

$\triangleright$ Giả sử tổng có nhiều hơn hai số hạng $2$.Nếu thay ba số $2$ bằng hai số $3$ thì $2+2+2=3+3$ nhưng $2.2.2<3.3$ do đó tích $a_1.a_2...a_k$ tăng lên điều này vô lí.Vậy thừa số $2$ trong tích sẽ không vượt quá $2$

do đó để đảm bảo $a_1.a_2...a_k$ lớn nhất thì ta phân tích

$89=3+3+...+3+2$ $($ $29$ số $3$ $)$ hoặc $89=3+3+...+3+2+2$ $($ không thể phân tích được kiểu này $)$ hoặc $89=3+3+...+3$ $($ không thể phân tích được kiểu này $)$

$\boxed{max(a_1.a_2...a_k)=3^{29}.2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} k=30\\a_1=a_2=...=a_{29}=3\\a_{30}=2 \end{matrix}\right.}$

 

chú ý:với $a_1,a_2,...,a_k$ là các số tự nhiên mà $a_1+a_2+...+a_k=n$ thì $a_1.a_2...a_k\leq 3^{\frac{n-2p}{3}}.2^p$ với $p=\left\{\begin{matrix} \text{0 nếu n=3k} \\ \text{1 nếu n=3k+2} \\ \text{2 nếu n=3k+1} \end{matrix}\right.$

Spoiler

bài này tương tự một bài trong cuốn bđt số học

NTP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 05-12-2014 - 18:23

[Nguyenhuyen_AG]

Bài này có nguồn gốc từ IMO 1976 "http://www.artofprob...1715bc#p367432"

[colenSongNhi]

Vào lúc 5-2-2014 -18:03 chardhdmovies đã nói:

    Trong cách phân tích đã cho không có số hạng b≥4,vì khi ta thay b bằng hai số hạng 2,b−2,.Rõ ràng 2(b−2)≥4.Vậy tổng chỉ chứa các số hạng 2 và 3.

 

    Theo mình khi b=4 phân tích b=2+2 và như vậy ta được biểu diễn tương đương.Trong biểu diễn vẫn có thể có 4.

     4 chỉ bị loại vì 89=3+3+3+...+2+2(vô lí)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi colenSongNhi: 13-05-2017 - 10:11