Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $(u-1)\vdots 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết

Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $u$ là một ước nguyên dương lẻ của $3^n+1$

Chứng minh $u-1$ chia hết cho $3$

 

NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 30-11-2014 - 08:29

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#2
ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết

Lời giải : ,  $n=2k+1$ nên với mọi $p$ là số nguyên tố lẻ mà $p|3^{2k+1}+1 | 3^{2k+2}+3$

 đặt $3^{k+1}=2a+1$ nên $(2a+1)^2+3=4(a^2+a+1)\equiv 0 $(mod $p$)  dó $p$ lẻ nên $p | a^2+a+1 |a^3-1 $ do $p$ ko chia hết $a-1$ ( nếu ngược lại thì $p=3$ vô lí ) nên $ord_p(a)=3$ mặt khác theo fermat thì $p|a^{p-1}-1$ nên $3|p-1$ . Vậy thì $u=p_1^{\alpha _1}.... p_k^{\alpha _k}\equiv 1(mod 3)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 23-09-2017 - 18:20

~O)  ~O)  ~O)


#3
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Lời giải : ,  $n=2k+1$ nên với mọi $p$ là số nguyên tố lẻ mà $p|3^{2k+1}+1 | 3^{2k+2}+3$

 đặt $3^{k+1}=2a+1$ nên $(2a+1)^2+3=4(a^2+a+1)\equiv 0 $(mod $p$)  dó $p$ lẻ nên $p | a^2+a+1 |a^3-1 $ do $p$ ko chia hết $a-1$ ( nếu ngược lại thì $p=3$ vô lí ) nên $ord_p(a)=3$ mặt khác theo fermat thì $p|a^{p-1}-1$ nên $3|p-1$ . Vậy thì $u=p_1^{\alpha _1}.... p_k^{\alpha _k}\equiv 1(mod 3)$

Em làm đúng rồi; tuy nhiên, để có một thói quen làm toán lành mạnh, em nên để ý dấu câu, chấm phẩy cho đàng hoàng để người khác đọc dễ hiểu. (Em hãy tự thử đọc lại bài của chính mình sau mỗi lần làm xong.) Trình bày một bài toán phải như đang kể một câu chuyện, phải có đầu có đuôi. Hơn nữa, không ai gõ đồng dư là $(mod 3)$ cả, từ lần sau em nên gõ là

$4(a^2+a+1)\equiv 0 \pmod{3}$

Lần này, cộng cho em $10^{-}$ điểm PSW nhé.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 14-10-2017 - 19:23

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#4
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $u$ là một ước nguyên dương lẻ của $3^n+1$

Chứng minh $u-1$ chia hết cho $3$

 

NTP

*Dùng thặng dư bình phương:

Gọi $p$ là một ước nguyên tố lẻ của $3^{n}+1$ nên $3^{n}+1\equiv 0$ $(mod$ $p)$$\Rightarrow 3^{n+1}\equiv -3$ $(mod$ $p).$ Do $n$ là số nguyên dương lẻ nên $n+1$ là số nguyên dương chẵn. Từ đó dẫn đến $-3$ là số chính phương $mod$ $p\Rightarrow \left (\frac{-3}{p} \right )=1$    (I)

Theo định lý tiêu chuẩn $Euler$ ta có: $\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{-1}{p} \right )\left ( \frac{3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\left ( \frac{3}{p} \right )$    (*)

Theo luật tương hỗ $Gauss$ ta có: $\left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{(3-1)(p-1)}{4}}=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\Rightarrow \left ( \frac{3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\left ( \frac{p}{3} \right )$    (**)

Từ (*)(**) suy ra: $\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{p-1}\left ( \frac{p}{3} \right ).$

Ta dễ dàng thấy được $p\neq 3$ nên ta xét:

Nếu $p\equiv 2$ $(mod$ $3)$ $\Rightarrow \left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{2}{3} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{3^{2}-1}{8}}=-1,$ từ đây dẫn đến: $\left ( \frac{-3}{p} \right )=-1,$ mâu thuẫn với (I).

Do đó, ta phải có: $p\equiv 1$ $(mod$ $3)$ $\Rightarrow p-1\equiv 0$ $(mod$ $3).$ Từ đây ta dễ dàng suy ra điều phải chứng minh.
 



#5
NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Lời giải : ,  n=2k+1n=2k+1 nên với mọi pp là số nguyên tố lẻ mà p|32k+1+1|32k+2+3p|32k+1+1|32k+2+3

 đặt 3k+1=2a+13k+1=2a+1 nên (2a+1)2+3=4(a2+a+1)0(2a+1)2+3=4(a2+a+1)≡0(mod pp)  dó pp lẻ nên p|a2+a+1|a31p|a2+a+1|a3−1 do pp ko chia hết a1a−1 ( nếu ngược lại thì p=3p=3 vô lí ) nên ordp(a)=3ordp(a)=3 mặt khác theo fermat thì p|ap11p|ap−1−1 nên 3|p13|p−1 . Vậy thì u=pα11....pαkk1(mod3)u=p1α1....pkαk≡1(mod3)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 23-09-2017 - 18:20

~O)   ~O)  


 

 




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh