Giá trị riêng
Bắt đầu bởi lovePearl_maytrang, 03-04-2006 - 12:48
#1
Đã gửi 03-04-2006 - 12:48
Cho A là một ma trận thực. Chứng minh rằng http://dientuvietnam...imetex.cgi?AA^t và http://dientuvietnam...imetex.cgi?A^tA là các ma trận đối xứng có mọi giá trị riêng đều ko âm.
Ở đây http://dientuvietnam...mimetex.cgi?A^t là ma trận chuyển vị của ma trận A
Ở đây http://dientuvietnam...mimetex.cgi?A^t là ma trận chuyển vị của ma trận A
Ghé thăm blog nhé:
http://360.yahoo.com/steppe2205
http://360.yahoo.com/steppe2205
#2
Đã gửi 03-04-2006 - 13:50
Với mọi http://dientuvietnam...imetex.cgi?A^tA đều không âm.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha
The Buddha
#3
Đã gửi 03-04-2006 - 15:20
Bài toán "ngược" của bài này: cho B là ma trận thực đối xứng cấp n, các giá trị riêng đều không âm, khi đó tồn tại A, ma trận thực cấp n, sao cho http://dientuvietnam...tex.cgi?AA^t=B.
#4
Đã gửi 03-04-2006 - 15:58
Dùng holomorphic functional calculus là ra ngay.
PhDvn.org
#5
Đã gửi 03-04-2006 - 23:40
Anh toilachinhtoi có thể nói rõ hơn được không ạ ?
Em giải thế này có được không ạ ?
Giả sử các vec tor cột của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n} thì ma trận http://dientuvietnam...etex.cgi?AA^{t} là ma trận Gram của hệ vector này .Ma trận Gram thì xác định dương. Từ đó suy ra các giá trị riêng không âm .
Em giải thế này có được không ạ ?
Giả sử các vec tor cột của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n} thì ma trận http://dientuvietnam...etex.cgi?AA^{t} là ma trận Gram của hệ vector này .Ma trận Gram thì xác định dương. Từ đó suy ra các giá trị riêng không âm .
#6
Đã gửi 04-04-2006 - 00:39
Lấy f là một tự đồng cấu của ko gian véc tơ Euclid và f có ma trận là A trong hệ cơ sở trực chuẩn. Khi đó http://dientuvietnam...mimetex.cgi?A^t là ma trận của f* trong hệ cơ sở trực chuẩn đó. Giả sử k là một giá trị riêng của f*f thì http://dientuvietnam...imetex.cgi?A^tA là ko âm.
Ghé thăm blog nhé:
http://360.yahoo.com/steppe2205
http://360.yahoo.com/steppe2205
#7
Đã gửi 04-04-2006 - 00:40
Bài toán "ngược" của bài này: cho B là ma trận thực đối xứng cấp n, các giá trị riêng đều không âm, khi đó tồn tại A, ma trận thực cấp n, sao cho http://dientuvietnam...tex.cgi?AA^t=B.
Bài này thì chắc đổi cơ sở để biến B-> B' có dạng đường chéo không âm http://dientuvietnam...ex.cgi?A:=P^1/2 ( tức là A.A=p )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 04-04-2006 - 00:57
The world is what it is; men who are nothing , who allow themselves to become nothing , have no place in it !
(Naipaul)
Khi mê tiền chỉ là tiền
Ngộ ra mới biết trong tiền có tâm
Khi mê dâm chỉ là dâm
Ngộ ra mới biết trong dâm có tình
(NBS)
(Naipaul)
Khi mê tiền chỉ là tiền
Ngộ ra mới biết trong tiền có tâm
Khi mê dâm chỉ là dâm
Ngộ ra mới biết trong dâm có tình
(NBS)
#8
Đã gửi 04-04-2006 - 00:55
Vì B là ma trận thực đối xứng nên tồn tại ma trận C (đó là một ma trận trực giao) sao cho http://dientuvietnam....cgi?B=C^{-1}PC, ở đây P là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo là các giá trị riêng ko âm của B: http://dientuvietnam...i?{k_1,...,k_n}Bài toán "ngược" của bài này: cho B là ma trận thực đối xứng cấp n, các giá trị riêng đều không âm, khi đó tồn tại A, ma trận thực cấp n, sao cho http://dientuvietnam...tex.cgi?AA^t=B.
Lấy Q là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo lần lượt là các số http://dientuvietnam...cgi?A=C^{-1}QC. Thế thì và do đó (đpcm)
Ghé thăm blog nhé:
http://360.yahoo.com/steppe2205
http://360.yahoo.com/steppe2205
#9
Đã gửi 05-04-2006 - 20:03
Anh Kaka cho em hỏi : phiếm hàm chỉnh hình là gì ạ ?(em dịch cái từ trên) và cách áp dụng để giải bài toán này ạ ?
#10
Đã gửi 06-04-2006 - 08:41
Thật ra thằng em này thấy nếu B là ma trận đối xứng thực cấp n thì đều tồn tai căn bặc lẽ ( chẳng hạn n=3 thì tồn tại căn bậc ba của B, i.e, : A, A^{3} =B). Còn nếu ma trận B có các trị riêng không âm thì B có căn bậc chẵn . Cách chứng minh của anh lovePearl_maytrang đã bao hàm nhưng kết quả trên !Vì B là ma trận thực đối xứng nên tồn tại ma trận C (đó là một ma trận trực giao) sao cho http://dientuvietnam....cgi?B=C^{-1}PC, ở đây P là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo là các giá trị riêng ko âm của B: http://dientuvietnam...i?{k_1,...,k_n}Bài toán "ngược" của bài này: cho B là ma trận thực đối xứng cấp n, các giá trị riêng đều không âm, khi đó tồn tại A, ma trận thực cấp n, sao cho http://dientuvietnam...tex.cgi?AA^t=B.
Lấy Q là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo lần lượt là các số http://dientuvietnam...cgi?A=C^{-1}QC. Thế thì và do đó (đpcm)
Reserve your right to think, for even to think wrongly is better than not to think at all -Hypatia- A woman Mathematician
#11
Đã gửi 07-04-2006 - 06:04
Xét A là một C*- đại số. và a là một phần tử trong A. Với mọi ánh xạ f, chính hình trên phổ của a, ta định nghĩa được f(a), thông qua tích phân cauchy với giá trị trên một đại số toán tử. Cái này gọi là holomorphic functional Calculus.
trường hợp đặc biệt, nếu a chuẩn tắc, xét A' là C*- đại số sinh bởi a, khi đó đẳng cấu Gelfand đưa A' trở thanh C[spec(a)], và ta có thể định nghĩa f(a) cho f là một hàm liên tục bất kì xác định trên phổ của a. Cái này gọi là Côntinuous Functional Calculus.
Còn vài trò nữa, theo kiểu đại số Vonnewman, nhưng thế này chắc là đủ rôi. Bài toán trên là trường hợp rất đặc biệt khi C*-đại số này trùng với M_n©, ma trận a, hàm f là căn bậc 2. Nói chung có cả một lý thuyết về cái này rôi, và hiện nay đã trở thành cổ điển.
trường hợp đặc biệt, nếu a chuẩn tắc, xét A' là C*- đại số sinh bởi a, khi đó đẳng cấu Gelfand đưa A' trở thanh C[spec(a)], và ta có thể định nghĩa f(a) cho f là một hàm liên tục bất kì xác định trên phổ của a. Cái này gọi là Côntinuous Functional Calculus.
Còn vài trò nữa, theo kiểu đại số Vonnewman, nhưng thế này chắc là đủ rôi. Bài toán trên là trường hợp rất đặc biệt khi C*-đại số này trùng với M_n©, ma trận a, hàm f là căn bậc 2. Nói chung có cả một lý thuyết về cái này rôi, và hiện nay đã trở thành cổ điển.
PhDvn.org
#12
Đã gửi 07-04-2006 - 12:22
Ái chà, phải đến tận C* đại số thì cao quá . Em tưởng là chỉ có dùng giải tích phức
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh