Đến nội dung

Hình ảnh

min $\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Nguyentiendung9372

Nguyentiendung9372

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx = 1$

Tìm GTNN của $\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)$



#2
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Đặt:

$$(a,b,c)=(x-y,y-z,z-x)\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2$$

$$a^2+b^2+c^2 \geqslant 3\sqrt[3]{(abc)^2} \Leftrightarrow |abc|\leqslant \frac{2\sqrt{6}}{9}$$

$$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x) \geqslant -\frac{2\sqrt{6}}{9}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x-y=y-z=x-z=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ hoặc ... lười liệt kê


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3
Nguyentiendung9372

Nguyentiendung9372

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

Đặt:

$$(a,b,c)=(x-y,y-z,z-x)\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2$$

$$a^2+b^2+c^2 \geqslant 3\sqrt[3]{(abc)^2} \Leftrightarrow |abc|\leqslant \frac{2\sqrt{6}}{9}$$

$$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x) \geqslant -\frac{2\sqrt{6}}{9}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x-y=y-z=x-z=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ hoặc ... lười liệt kê

Tìm cụ thể dấu bằng đi :))



#4
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Chết, không đảm bảo dấu bằng.

Giả sử $x=\text{min}\{x,y,z\}$, đặt $a=x-y,b=y-z$

Khi đó ta viết lại bài toán:

Cho các số thực không âm $a,b$ thỏa mãn $a^2-ba+b^2-1=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất:

$$P=ab(b-a)$$

Giải:

$$\Delta = 4-3b^2 \geqslant 0 \Leftrightarrow |b|\leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

$$a=\dfrac{b\pm \sqrt{4-3b^2}}{2}$$

Thay trực tiếp và đạo hàm chắc sẽ ra.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#5
mathbg

mathbg

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx = 1$

Tìm GTNN của $\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)$

Đặt $a=x-y, b=y-z, c=z-x$. Bài toán trở thành:

Cho $a,b,c$ là các số thoả mãn $a+b+c=0, a^2+b^2+c^2=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $abc$.

Giả sử $c=\max\{a,b,c\}$, suy ra $0\le c\le \sqrt2$.

Từ đk1, $a+b=-c$. suy ra $a^2+b^2+2ab=c^2$. Do đó $ab=c^2-1$.

Ta được $abc=(c^2-1)c=c^3-c=f ( c )$.

$f'( c )=3c^2-1=0$ khi và chỉ khi $c=\dfrac{1}{\sqrt3}$ (vì $0\le c\le \sqrt2$ ).

$\min f( c )=f(\frac{1}{\sqrt3})=-\dfrac{2}{3\sqrt 3}$, đạt được tại $c=b=\dfrac{1}{\sqrt 3}, a=-\dfrac{2\sqrt 3}{3}$ và các hoán vị.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh