Chủ đề này có 2 trả lời

[zzhanamjchjzz]

Cho a,b,c >0 CMR: 

 a.   $\frac{a+b}{2}\frac{a^2+b^2}{2}\frac{a^3+b^3}{2} \leq \frac{a^6+b^6}{2}$
 b.   $\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a} \leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

[vipboycodon]

a. Hướng dẫn:

chứng minh $\dfrac{a+b}{2}.\dfrac{a^2+b^2}{2} \le \dfrac{a^3+b^3}{2}$ .

$\rightarrow \dfrac{a+b}{2}.\dfrac{a^2+b^2}{2}.\dfrac{a^3+b^3}{2} \le (\dfrac{a^3+b^3}{2})^2 \le \dfrac{a^6+b^6}{2}$

[KietLW9]

Cho a,b,c >0 CMR: 

 b.   $\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a} \leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{c(a^2+b^2)}{a+b}+\frac{a(b^2+c^2)}{b+c}+\frac{b(c^2+a^2)}{c+a}\leqslant a^2+b^2+c^2$

$\Leftrightarrow (\frac{c(a^2+b^2)}{a+b}-c^2)+(\frac{a(b^2+c^2)}{b+c}-a^2)+(\frac{b(c^2+a^2)}{c+a}-b^2)\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{ca(a-c)+bc(b-c)}{a+b}+\frac{ab(b-a)+ac(c-a)}{b+c}+\frac{bc(c-b)+ab(a-b)}{c+a}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{-bc(b-c)^2}{(a+b)(c+a)}+\frac{-ca(c-a)^2}{(a+b)(b+c)}+\frac{-ab(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}\leqslant 0$*đúng*

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$