Chủ đề này có 3 trả lời

[Dahitotn94]

mọi người giúp mình bài này nhé. cảm ơn mn nhiều

Đề:

 

Cho R là vành giao hoán có đơn vị. I là một idean của R,  và R là một R- modun.

CMR: 

$Hom_{R}(R/I,M)\cong 0:_{M}I$, với $0:_{M}I=\left \{ m\in M:Im=0 \right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dahitotn94: 07-12-2014 - 20:24

[Dahitotn94]

Mục đích  là mình muốn xây dựng 1 ánh xạ .xong rồi cm nó song ánh là dc. nhưng mình ko suy nghĩ ra dc cách xd ánh xạ đó

[fghost]

mọi người giúp mình bài này nhé. cảm ơn mn nhiều

Đề:

 

Cho R là vành giao hoán có đơn vị. I là một idean của R,  và R là một R- modun.

CMR: 

$Hom_{R}(R/I,M)\cong 0:_{M}I$, với $0:_{M}I=\left \{ m\in M:Im=0 \right \}$

 

$Hom_R(R/I,M)$ là tập hợp những ánh xạ R-linear từ $R/I$ đến $M$,những ánh xạ này được xác định hoàn toàn bởi ảnh của $1+I$. Thí dụ, ánh xạ $f \in Hom_R(R/I,M)$ có $f(1+I)=x \in M$. Nhận thấy

$$x \in 0:_M I \text{ vì } xI=f(1+I)I=f(1I+I)=f(0)=0$$

Ta có thể viết $f(1+I)I=f(1I+I)$ là vì $f$ là ánh xạ R-linear, và $I \subset R$. Và $f(1I+I)=f(I)=f(0)$ là vì nên nhớ $f$ là ánh xạ từ $R/I$, mà trên $R/I$ thì $I=0$.

Khi đó, ta dựng đồng cấu $\varphi: Hom_R(R/I,M) \rightarrow 0:_M I$ với $f \mapsto f(1+I)$. 

Sau khi có đồng cấu đó, ta chứng minh đó là đẳng cấu.

 

$\varphi$ đơn ánh là vì $\varphi(f)=0$ khi đó $f(1+I)=0$ vì vậy $f=0$. Ta cần chứng minh đó là toàn ánh. Với mọi $y \in 0:_M I$, ta cần dựng $f \in Hom_R(R/I, M)$ sao cho $f(1+I)=y.$

 

Đầu tiên, ta dựng $f' \in Hom_R(R, M)$ với $f'(1)=y$. Ánh xạ này luôn tồn tại. Sau đó, vì ta có $yI=0$, nên $I \subset ker(f')$. Nên $f'$ cảm ứng $f: R/I \rightarrow M$ với $f(1+I)=f'(1)=y.$

 

Để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh $f$ well-defined, tức là cho $r, r' \in R$ với $r+I= r'+I$ thí $f(r+I)=f(r'+I)$. Thật vậy, $f(r+I)=f(r'+I) \Leftrightarrow f(r-r'+I)=0$, tức là $f(I)=0$, nhưng điều này đúng vì $f(I)=f'(I)=0$ vì $I \subset ker(f')$.

[fghost]

Với cách chứng minh gần như trên (có lẽ là giống hoàn toàn, hay có lẽ là hệ quả của bài trên), ta có thể chứng minh, với $J \subset I$ là 2 ideals của $R$, ta có

$$Hom_R(R/I, R/J) \cong J:_R I= \{r \in R: rI \subset J\}$$

 

(có lẽ là hệ quả thật )