Cho a, b, c > 0 thỏa a+b+c=1. Tìm min : P= $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$
Tìm min : P= $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$
#1
Đã gửi 09-12-2014 - 15:36
#2
Đã gửi 09-12-2014 - 15:44
$P\geq \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\geq \frac{9}{(a+b+c)^2}+\frac{7}{ab+bc+ca}\geq 9+\frac{7}{\frac{1}{3}}=30$
Dấu "=" xaỷ ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
- nguyenhongsonk612, hoctrocuaZel và congtuholi thích
#3
Đã gửi 09-12-2014 - 15:45
Ta có : $\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{9}{ab+ac+bc}$
$\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{(ab+ac+bc)}+\frac{1}{(ab+ac+bc)} \geq\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}= \frac{9}{(a+b+c)^2}=9$ (*)
$\frac{21}{3(ab+ac+bc)}\geq \frac{21}{(a+b+c)^2}=21$ (**)
Cộng (*)+(**) => $P\geq 21+9=30$
dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Long Cold Ice: 09-12-2014 - 15:49
- congtuholi yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh