Đến nội dung

Hình ảnh

$f=\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}-\frac{abcd}{(ab+cd)^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
PolarBear154

PolarBear154

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 396 Bài viết

Cho 4 số thực a,b,c,d phân biệt thỏa mãn $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=4,ac=bd$

Tìm max:

$f=\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}-\frac{abcd}{(ab+cd)^2}$


Trong bất cứ hoàn cảnh công việc nào, không cúi đầu trước cái ác, không lùi trước hiểm nạn. Nhìn thẳng và đi trên con đường mình đã chọn: con đường mà sự nhẫn nại bao dung là những bước đi tới, hành trang là những ước mơ vô cùng bé nhỏ- chỉ xin làm một cành dương tưới trên cuộc đời đầy rẫy khô khát và bất trắc... 


#2
phamxuanvinh08101997

phamxuanvinh08101997

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 141 Bài viết

Cho 4 số thực a,b,c,d phân biệt thỏa mãn $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=4,ac=bd$

Tìm max:

$f=\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}-\frac{abcd}{(ab+cd)^2}$

Đặt $x=\frac{a}{b} ,y=\frac{b}{c}$ do ac=bd nên $\frac{c}{d}=\frac{b}{a}=\frac{1}{x},\frac{d}{a}=\frac{c}{b}=\frac{1}{y}$ ,Từ đây ta có $x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4$ và do đó 1 trong 2 số $\frac{1}{x}+x$ hoặc $\frac{1}{y}+y$ phải lớn hơn 0 hay x hoặc y lớn hơn 0 ( không xảy ra TH x,y cùng >0 vì đk a,b,c,d phân biệt)

Ta có $f(a,b,c,d)=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{b}-\frac{abcd}{(ab+cd)^2}=xy+\frac{y}{x}+\frac{1}{xy}+\frac{x}{y}-\frac{1}{(y+\frac{1}{y})^2}=(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})-\frac{1}{(y+\frac{1}{y})^2}$ 

Đặt $\frac{1}{x}+x=u,\frac{1}{y}+y=v$ thì $f(a,b,c,d)=uv-\frac{1}{v^2}$ và $u+v=4$ 

Nếu $x>0,y<0$ thì $v \leq -2$ ta có $f(a,b,c,d)=(4-v)v-\frac{1}{v^2} \leq \frac{-49}{4}$ (xét hàm)

Nếu $x<0,y>0$ thì $u=\frac{1}{x}+x \leq -2 \rightarrow v \geq 6$ nên ta có $f(a,b,c,d)=(4-v)v-\frac{1}{v^2} \leq \frac{-433}{36}$(xét hàm)

Như vậy Max_P=\frac{-433}{36}


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamxuanvinh08101997: 19-01-2015 - 19:50

                   :ukliam2: Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like :ukliam2:

 

:ukliam2: Không ngừng vươn xa :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh