Chủ đề này có 2 trả lời

[bangbang1412]

Cho $A,B$ thuộc $M(m \times n , K)$ trong đó $K$ là một trường .

Chứng minh :

a) $rank (A+B) \leq rank A+rank B$

b) Nếu $m=n$ thì $rankA + rankB - n \leq rank(AB) \leq min(rankA,rankB)$

 

[25 minutes]

Cho $A,B$ thuộc $M(m \times n , K)$ trong đó $K$ là một trường .

Chứng minh :

a) $rank (A+B) \leq rank A+rank B$

b) Nếu $m=n$ thì $rankA + rankB - n \leq rank(AB) \leq min(rankA,rankB)$

a, Gọi $X_1,X_2,...,X_n$ là hệ vecto cột của $A$, $P_1,P_2,...,P_r$ là cơ sở của nó.

Khi đó $rank(A)=r$

Gọi $Y_1,Y_2,...,Y_n$ là hệ vecto cột của $B$ và $Q_1,Q_2,...,Q_s$ là cơ sở của nó

Khi đó $rank(B)=s$

Xét các hệ vecto $X_1+Y_1,...,X_n+Y_n$   (*)chính là hệ vecto cột của ma trận $A+B$

                           $P_1,...,P_n,Q_1,...,Q_n$   (**)

Theo định nghĩa mỗi vecto $X_j$ là tổ hợp tuyến tính của các vecto cơ sở $P_1,...,P_r$

                                           $Y_j$ là tổ hợp tuyến tính của các vecto cơ sở $Q_1,...,Q_s$

Do đó $X_j+Y_j$ là tổ hợp của các vecto trong hệ (**)

Từ đây theo tính chất hạng của hệ vecto, suy ra $rank(*) \leqslant rank (**)$

Hay $rank(A+B) \leqslant r+s=rank(A)+rank(B)$

b, Khi $m=n$ thì đó chính là bất đẳng thức Sylvester.

[phudinhgioihan]

Cho $A,B$ thuộc $M(m \times n , K)$ trong đó $K$ là một trường .

Chứng minh :

a) $rank (A+B) \leq rank A+rank B$

b) Nếu $m=n$ thì $rankA + rankB - n \leq rank(AB) \leq min(rankA,rankB)$

 

 

b, Khi $m=n$ thì đó chính là bất đẳng thức Sylvester.

 

Biết rằng đó là bất đẳng thức Sylvester nhưng thiết nghĩ cũng nên viết chứng minh ra.

 

Dùng ánh xạ tuyến tính cho đơn giản.

 

 Gọi $f,g,h: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^n$ là các ánh xạ tuyến tính lần lượt nhận $A,B,C$ làm ma trận biểu diễn trong một sơ sở nào đó.

 

Khi đó, $rank A+rank B -n \le rank AB \Leftrightarrow rank f+rank g -n \le rank (f \circ g)$

 

Ta có: $rank(f \circ g)=dim (f_{|_{Im\;g}})=dim (Im \;g)-dim(Ker(f_{|_{Im\;g}}))$

 

$=rank \;g-dim(Ker(f_{|_{Im\;g}})) \ge rank \;g-dim(Ker \;f) $ vì $Ker((f_{|_{Im\;g}})) \subset Ker(f)$

 

$=rank \;g-(n-rank \;f)$

 

$\Leftrightarrow rank \;f+rank\;g -n \le rank (\;f\circ g) $

 

$\Leftrightarrow rank \;A+rank\;B-n \le rank \;AB$