Cho ba phương trình
\begin{eqnarray}x^2+ax+ac=0 \\ x^2-bx+c^3=0 \\ x^4-bx^2+c^3=0\end{eqnarray}
Tìm $a,b,c$ để:
a) Từng phương trình trên có nghiệm
b) Các nghiệm của $(1)$ có giá trị tuyệt đối lớn hơn $1$ và các nghiệm của $(1)$ đều là nghiệm của $(3)$.
c) It nhất $1$ nghiệm của $(1)$ thỏa mãn $(2)$
$a)$
Điều kiện để $(1)$ có nghiệm là $a^2-4ac\geqslant 0$
Hay nói cách khác là $1$ trong $3$ điều dưới đây xảy ra :
+ Ít nhất $1$ trong $2$ số $a$ và $c$ bằng $0$.
+ $a$ và $c$ trái dấu.
+ $a$ và $c$ cùng dấu và $\left | a \right |\geqslant 4\left | c \right |$.
Điều kiện để $(2)$ có nghiệm là $b^2-4c^3\geqslant 0$
Hay nói cách khác là $1$ trong $2$ điều dưới đây xảy ra :
+ $c\leqslant 0$, $b\in \mathbb{R}$ (tuỳ ý)
+ $c> 0$ và $\left | b \right |\geqslant 2\sqrt{c^3}$.
Điều kiện để $(3)$ có nghiệm :
Đặt $t=x^2\Rightarrow t^2-bt+c^3=0(t\geqslant 0)$ (4)
$\Delta =b^2-4c^3$
Đặt $f(t)=t^2-bt+c^3$
Nếu $c\leqslant 0\Rightarrow f(0)=c^3\leqslant 0\Rightarrow$ (4) có ít nhất $1$ nghiệm không âm $\Rightarrow$ (3) có nghiệm.
Nếu $c> 0$ :
Khi đó (4) sẽ có $2$ nghiệm (trường hợp nghiệm kép xem như $2$ nghiệm bằng nhau) nếu $\left | b \right |\geqslant 2\sqrt{c^3}$
Nếu $2$ nghiệm đó đều là số âm thì $b=t_{1}+t_{2}< 0$
Vậy $2$ nghiệm đó có ít nhất $1$ nghiệm không âm khi và chỉ khi $b\geqslant 0$ và $\left | b \right |\geqslant 2\sqrt{c^3}\Leftrightarrow b\geqslant 2\sqrt{c^3}$
$\Rightarrow$ Điều kiện để $(3)$ có nghiệm là ($1$ trong $2$ điều dưới đây xảy ra)
+ $c\leqslant 0$, $b\in \mathbb{R}$ (tuỳ ý)
+ $c> 0$ và $b\geqslant 2\sqrt{c^3}$
Tổng hợp lại, điều kiện để $(1),(2),(3)$ cùng có nghiệm là : ($1$ trong $3$ điều dưới đây xảy ra)
+ $c< 0$, $a\notin (4c;0)$, $b\in \mathbb{R}$ (tuỳ ý)
+ $c=0$, $a,b\in \mathbb{R}$ (tuỳ ý)
+ $c> 0$, $a\notin (0;4c)$, $b\geqslant 2\sqrt{c^3}$
$b)$
Gọi $x_{1}$ và $x_{2}$ là $2$ nghiệm (có thể bằng nhau hoặc khác nhau) của $(1)$.
Ta có $\left | x_{1}x_{2} \right |=\left | ac \right |> 1\Rightarrow a\neq 0$ và $c\neq 0$
Xét $2$ trường hợp :
$1)$ $x_{1}^{2}=x_{2}^{2}$
$\alpha )$ $x_{1}=-x_{2}$ :
Khi đó $-a=x_{1}+x_{2}=0\Rightarrow a=0$ (vô lý vì $\left | ac \right |> 1$).Vậy trường hợp này không thể xảy ra.
$\beta )$ $x_{1}=x_{2}<-1$ hoặc $x_{1}=x_{2}>1$ $\Rightarrow x_{1}x_{2}=ac> 1$
Khi đó $x_{1}^{2}=x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}=ac=4c^2$ (vì $a^2=4ac;a\neq 0\Rightarrow a=4c$)
$x_{1}$ (cũng là $x_{2}$) là nghiệm của $(3)$ $\Rightarrow 16c^4-4bc^2+c^3=0\Rightarrow b=\frac{c(16c+1)}{4}=\frac{a(4a+1)}{16}$
Mặt khác $ac> 1\Rightarrow \frac{a^2}{4}> 1\Rightarrow \left | a \right |> 2$
$2)$ $x_{1}^{2}\neq x_{2}^{2}$
Ta có :
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}=b$ (5)
$x_{1}^{2}.x_{2}^{2}=c^3$ (6)
(5) $\Rightarrow a^2-2ac=b$ (7)
(6) $\Rightarrow a^2c^2=c^3\Rightarrow c=a^2$ (8)
(7),(8) $\Rightarrow b=a^2-2a^3$
Vì $b=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}> 1+1=2$ nên $a^2-3a^3> 2\Leftrightarrow a< \frac{1-\sqrt[3]{107+\sqrt{107^2-1}}-\sqrt[3]{107-\sqrt{107^2-1}}}{6}\approx -0,858094329$
Kết luận :
ĐK để các nghiệm của $(1)$ có giá trị tuyệt đối lớn hơn $1$ và đều là nghiệm của $(3)$ là : ($1$ trong $2$ điều dưới đây xảy ra)
+ $\left | a \right |> 2$ ; $b=\frac{a(4a+1)}{16}$ ; $c=\frac{a}{4}$
+ $a< \frac{1-\sqrt[3]{107+\sqrt{107^2-1}}-\sqrt[3]{107-\sqrt{107^2-1}}}{6}$ ; $b=a^2-2a^3$ ; $c=a^2$
$c)$
Xét các trường hợp :
$1)$ $c=0$
Khi đó với mọi $a$ và $b$ tùy ý, luôn có $x=0$ là nghiệm của $(1)$ và thỏa mãn $(2)$
$2)$ $c\neq 0$
Giả sử $(1)$ có $2$ nghiệm là $m$ và $p$ (trường hợp nghiệm kép thì $m=p$)
Và $(2)$ có $2$ nghiệm là $m$ và $q$ (trường hợp nghiệm kép thì $m=q$)
Ta có :
$m+p=-a$ (9)
$mp=ac$ (10)
$m+q=b$ (11)
$mq=c^3$ (12)
$\alpha )$ Nếu $p=q$
(9),(11) $\Rightarrow b=-a$ ; (10),(12) $\Rightarrow$ $c=\pm \sqrt{a}$
Nhưng nếu $c=\sqrt{a}$ (tức $a$ và $c$ cùng dấu) thì cần thêm điều kiện $a\geqslant 4c=4\sqrt{a}\Rightarrow a\geqslant 16$ hay $c\geqslant 4$
$\beta )$ Nếu $p\neq q$ (vì $c\neq 0$ suy ra $q\neq 0$, $a\neq -b$ và $a\neq c^{2}$)
(9),(11) $\Rightarrow$ $p-q=-(a+b)$ (13)
(10),(12) $\Rightarrow$ $\frac{p}{q}=\frac{a}{c^2}\Rightarrow p=\frac{a}{c^2}.q$ (14)
(13),(14) $\Rightarrow$ $p=-\frac{a(a+b)}{a-c^2}$ (15)
Và $q=-\frac{c^2(a+b)}{a-c^2}$ (16)
(9),(15) $\Rightarrow$ $m=-a+\frac{a(a+b)}{a-c^2}$ (17)
(12),(16) $\Rightarrow$ $m=-\frac{c(a-c^2)}{a+b}$ (18)
(17),(18) $\Rightarrow$ $c(a-c^2)^2-a(a-c^2)(a+b)+a(a+b)^2=0$
$\Rightarrow$ $4c(a-c^2)^2-4a(a-c^2)(a+b)+4a(a+b)^2=0$
$\Rightarrow$ $(4c-a)(a-c^2)^2+a[2(a+b)-(a-c^2)]^2=0$
$\Rightarrow$ $a(a+c^2+2b)^2=(a-4c)(a-c^2)^2$
$\Rightarrow$ $b=\frac{\pm \left | a-c^2 \right |\sqrt{a^2-4ac}-a^2-ac^2}{2a}$
Vậy điều kiện để ít nhất có $1$ nghiệm của $(1)$ thỏa mãn $(2)$ là ($1$ trong $7$ điều sau xảy ra)
+ $c=0$ ; $a,b\in \mathbb{R}$ (tùy ý)
+ $c< 0$ ; $a=c^2$ ; $b=-a=-c^2$
+ $c\geqslant 4$ ; $a=c^2$ ; $b=-a=-c^2$
+ $c< 0$ ; $a\notin (4c;0)$ ; $b=\frac{\left | a-c^2 \right |\sqrt{a^2-4ac}-a^2-ac^2}{2a}$
+ $c< 0$ ; $a\notin (4c;0)$ ; $b=-\frac{\left | a-c^2 \right |\sqrt{a^2-4ac}+a^2+ac^2}{2a}$
+ $c> 0$ ; $a\notin (0;4c)$ ; $b=\frac{\left | a-c^2 \right |\sqrt{a^2-4ac}-a^2-ac^2}{2a}$
+ $c> 0$ ; $a\notin (0;4c)$ ; $b=-\frac{\left | a-c^2 \right |\sqrt{a^2-4ac}+a^2+ac^2}{2a}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 24-04-2014 - 19:02