Đến nội dung


Hình ảnh
* * * - - 1 Bình chọn

$x^2+ax+ac=0; x^2-bx+c^3=0;x^4-bx^2+c^3=0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Math,math n math

Math,math n math

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết

Đã gửi 05-04-2006 - 14:50

Cho ba phương trình

\begin{eqnarray}x^2+ax+ac=0 \\ x^2-bx+c^3=0  \\ x^4-bx^2+c^3=0\end{eqnarray}

Tìm $a,b,c$ để:
a) Từng phương trình trên có nghiệm
b) Các nghiệm của $(1)$ có giá trị tuyệt đối lớn hơn $1$ và các nghiệm của $(1)$ đều là nghiệm của $(3)$.
c) It nhất $1$ nghiệm của $(1)$ thỏa mãn $(2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 17-04-2014 - 21:28


#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-04-2014 - 21:10

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng       @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng       @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 24/04 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng       @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:...

Đã gửi 23-04-2014 - 22:27

Cho ba phương trình

\begin{eqnarray}x^2+ax+ac=0 \\ x^2-bx+c^3=0  \\ x^4-bx^2+c^3=0\end{eqnarray}

Tìm $a,b,c$ để:
a) Từng phương trình trên có nghiệm
b) Các nghiệm của $(1)$ có giá trị tuyệt đối lớn hơn $1$ và các nghiệm của $(1)$ đều là nghiệm của $(3)$.
c) It nhất $1$ nghiệm của $(1)$ thỏa mãn $(2)$

a)

  • $a=0\Rightarrow x=0\Rightarrow c=0$ và với mọi $b$ thì 3pt có nghiệm.
  • $a\neq 0$

ĐK để 3 pt có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix}\Delta _1=a^2-4ac\geq 0  &  & \\ \Delta _2=b^2-4c^3\geq 0  &  & \\ \Delta _3=b^2-4c^3\geq 0 \\ b\geq 0(Vi-et- pt3)  \end{matrix}\right.$

*) Nếu $c^3\leq 0$

Theo Vi-et thì pt 3 luôn có 2 nghiệm trái dấu

Vậy pt 3 luôn có nghiệm

Hiển nhiên pt2 cũng luôn có nghiệm vì $b^2\geq 0\geq 4c^3$

+) Nếu $a>0\Rightarrow 4ac\leq0$

Vậy pt 1 luôn có nghiệm vì $a^2\geq 0\leq 4ac$

+) Nếu $a<0\Rightarrow a\leq 4c$
 

Vậy với mọi $b$ và $c<0;a>0$ thì 3 pt luôn có nghiệm

       với mọi $b$ và  $c<0;a<0;a\leq 4c$ thì 3 pt luôn có nghiệm

*) Nếu $c^3>0$

Theo Vi-et thì pt 3 luôn có 2 nghiệm cùng dấu

Mà pt 3 là pt bậc 2 ẩn $x^2$ nên không thể có 2 nghiệm cùng âm

Vậy 2 nghiệm của pt 3 cùng dương.

Theo Vi-et thì $b>0$

Làm tương tự xét $a$

P/s: Bài này ảo quá, chả có ý nghĩa gì.



#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2083 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 24-04-2014 - 11:16

Cho ba phương trình

\begin{eqnarray}x^2+ax+ac=0 \\ x^2-bx+c^3=0  \\ x^4-bx^2+c^3=0\end{eqnarray}

Tìm $a,b,c$ để:
a) Từng phương trình trên có nghiệm
b) Các nghiệm của $(1)$ có giá trị tuyệt đối lớn hơn $1$ và các nghiệm của $(1)$ đều là nghiệm của $(3)$.
c) It nhất $1$ nghiệm của $(1)$ thỏa mãn $(2)$

$a)$

Điều kiện để $(1)$ có nghiệm là $a^2-4ac\geqslant 0$

Hay nói cách khác là $1$ trong $3$ điều dưới đây xảy ra :

+ Ít nhất $1$ trong $2$ số $a$ và $c$ bằng $0$.

+ $a$ và $c$ trái dấu.

+ $a$ và $c$ cùng dấu và $\left | a \right |\geqslant 4\left | c \right |$.

 

Điều kiện để $(2)$ có nghiệm là $b^2-4c^3\geqslant 0$

Hay nói cách khác là $1$ trong $2$ điều dưới đây xảy ra :

+ $c\leqslant 0$, $b\in \mathbb{R}$ (tuỳ ý)

+ $c> 0$ và $\left | b \right |\geqslant 2\sqrt{c^3}$.

 

Điều kiện để $(3)$ có nghiệm :

Đặt $t=x^2\Rightarrow t^2-bt+c^3=0(t\geqslant 0)$ (4)

$\Delta =b^2-4c^3$

Đặt $f(t)=t^2-bt+c^3$

Nếu $c\leqslant 0\Rightarrow f(0)=c^3\leqslant 0\Rightarrow$ (4) có ít nhất $1$ nghiệm không âm $\Rightarrow$ (3) có nghiệm.

Nếu $c> 0$ :

Khi đó (4) sẽ có $2$ nghiệm (trường hợp nghiệm kép xem như $2$ nghiệm bằng nhau) nếu $\left | b \right |\geqslant 2\sqrt{c^3}$

Nếu $2$ nghiệm đó đều là số âm thì $b=t_{1}+t_{2}< 0$

Vậy $2$ nghiệm đó có ít nhất $1$ nghiệm không âm khi và chỉ khi $b\geqslant 0$ và $\left | b \right |\geqslant 2\sqrt{c^3}\Leftrightarrow b\geqslant 2\sqrt{c^3}$

$\Rightarrow$ Điều kiện để $(3)$ có nghiệm là ($1$ trong $2$ điều dưới đây xảy ra)

+ $c\leqslant 0$, $b\in \mathbb{R}$ (tuỳ ý)

+ $c> 0$ và $b\geqslant 2\sqrt{c^3}$

 

Tổng hợp lại, điều kiện để $(1),(2),(3)$ cùng có nghiệm là : ($1$ trong $3$ điều dưới đây xảy ra)

+ $c< 0$, $a\notin (4c;0)$, $b\in \mathbb{R}$ (tuỳ ý)

+ $c=0$, $a,b\in \mathbb{R}$ (tuỳ ý)

+ $c> 0$, $a\notin (0;4c)$, $b\geqslant 2\sqrt{c^3}$

 

$b)$

Gọi $x_{1}$ và $x_{2}$ là $2$ nghiệm (có thể bằng nhau hoặc khác nhau) của $(1)$.

Ta có $\left | x_{1}x_{2} \right |=\left | ac \right |> 1\Rightarrow a\neq 0$ và $c\neq 0$

Xét $2$ trường hợp :

$1)$ $x_{1}^{2}=x_{2}^{2}$

$\alpha )$ $x_{1}=-x_{2}$ :

Khi đó $-a=x_{1}+x_{2}=0\Rightarrow a=0$ (vô lý vì $\left | ac \right |> 1$).Vậy trường hợp này không thể xảy ra.

$\beta )$ $x_{1}=x_{2}<-1$ hoặc $x_{1}=x_{2}>1$ $\Rightarrow x_{1}x_{2}=ac> 1$

Khi đó $x_{1}^{2}=x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}=ac=4c^2$ (vì $a^2=4ac;a\neq 0\Rightarrow a=4c$)

$x_{1}$ (cũng là $x_{2}$) là nghiệm của $(3)$ $\Rightarrow 16c^4-4bc^2+c^3=0\Rightarrow b=\frac{c(16c+1)}{4}=\frac{a(4a+1)}{16}$

Mặt khác $ac> 1\Rightarrow \frac{a^2}{4}> 1\Rightarrow \left | a \right |> 2$

 

$2)$ $x_{1}^{2}\neq x_{2}^{2}$

Ta có :

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}=b$ (5)

$x_{1}^{2}.x_{2}^{2}=c^3$ (6)

(5) $\Rightarrow a^2-2ac=b$ (7)

(6) $\Rightarrow a^2c^2=c^3\Rightarrow c=a^2$ (8)

(7),(8) $\Rightarrow b=a^2-2a^3$

Vì $b=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}> 1+1=2$ nên $a^2-3a^3> 2\Leftrightarrow a< \frac{1-\sqrt[3]{107+\sqrt{107^2-1}}-\sqrt[3]{107-\sqrt{107^2-1}}}{6}\approx -0,858094329$

 

Kết luận :

ĐK để các nghiệm của $(1)$ có giá trị tuyệt đối lớn hơn $1$ và đều là nghiệm của $(3)$ là : ($1$ trong $2$ điều dưới đây xảy ra)

+ $\left | a \right |> 2$ ; $b=\frac{a(4a+1)}{16}$ ; $c=\frac{a}{4}$

+ $a< \frac{1-\sqrt[3]{107+\sqrt{107^2-1}}-\sqrt[3]{107-\sqrt{107^2-1}}}{6}$ ; $b=a^2-2a^3$ ; $c=a^2$

 

$c)$

Xét các trường hợp :

$1)$ $c=0$

Khi đó với mọi $a$ và $b$ tùy ý, luôn có $x=0$ là nghiệm của $(1)$ và thỏa mãn $(2)$

 

$2)$ $c\neq 0$

Giả sử $(1)$ có $2$ nghiệm là $m$ và $p$ (trường hợp nghiệm kép thì $m=p$)

Và $(2)$ có $2$ nghiệm là $m$ và $q$ (trường hợp nghiệm kép thì $m=q$)

Ta có : 

$m+p=-a$ (9)

$mp=ac$ (10)

$m+q=b$ (11)

$mq=c^3$ (12)

$\alpha )$ Nếu $p=q$

(9),(11) $\Rightarrow b=-a$ ; (10),(12) $\Rightarrow$ $c=\pm \sqrt{a}$

Nhưng nếu $c=\sqrt{a}$ (tức $a$ và $c$ cùng dấu) thì cần thêm điều kiện $a\geqslant 4c=4\sqrt{a}\Rightarrow a\geqslant 16$ hay $c\geqslant 4$

$\beta )$ Nếu $p\neq q$ (vì $c\neq 0$ suy ra $q\neq 0$, $a\neq -b$ và $a\neq c^{2}$)

(9),(11) $\Rightarrow$ $p-q=-(a+b)$ (13)

(10),(12) $\Rightarrow$ $\frac{p}{q}=\frac{a}{c^2}\Rightarrow p=\frac{a}{c^2}.q$ (14)

(13),(14) $\Rightarrow$ $p=-\frac{a(a+b)}{a-c^2}$ (15)

Và $q=-\frac{c^2(a+b)}{a-c^2}$ (16)

(9),(15) $\Rightarrow$ $m=-a+\frac{a(a+b)}{a-c^2}$ (17)

(12),(16) $\Rightarrow$ $m=-\frac{c(a-c^2)}{a+b}$ (18)

(17),(18) $\Rightarrow$ $c(a-c^2)^2-a(a-c^2)(a+b)+a(a+b)^2=0$

$\Rightarrow$ $4c(a-c^2)^2-4a(a-c^2)(a+b)+4a(a+b)^2=0$

$\Rightarrow$ $(4c-a)(a-c^2)^2+a[2(a+b)-(a-c^2)]^2=0$

$\Rightarrow$ $a(a+c^2+2b)^2=(a-4c)(a-c^2)^2$

$\Rightarrow$ $b=\frac{\pm \left | a-c^2 \right |\sqrt{a^2-4ac}-a^2-ac^2}{2a}$

 

Vậy điều kiện để ít nhất có $1$ nghiệm của $(1)$ thỏa mãn $(2)$ là ($1$ trong $7$ điều sau xảy ra)

+ $c=0$ ; $a,b\in \mathbb{R}$ (tùy ý)

+ $c< 0$ ; $a=c^2$ ; $b=-a=-c^2$

+ $c\geqslant 4$ ; $a=c^2$ ; $b=-a=-c^2$

+ $c< 0$ ; $a\notin (4c;0)$ ; $b=\frac{\left | a-c^2 \right |\sqrt{a^2-4ac}-a^2-ac^2}{2a}$

+ $c< 0$ ; $a\notin (4c;0)$ ; $b=-\frac{\left | a-c^2 \right |\sqrt{a^2-4ac}+a^2+ac^2}{2a}$

+ $c> 0$ ; $a\notin (0;4c)$ ; $b=\frac{\left | a-c^2 \right |\sqrt{a^2-4ac}-a^2-ac^2}{2a}$

+ $c> 0$ ; $a\notin (0;4c)$ ; $b=-\frac{\left | a-c^2 \right |\sqrt{a^2-4ac}+a^2+ac^2}{2a}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 24-04-2014 - 19:02

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5 understand

understand

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:quảng ngãi
  • Sở thích:math

Đã gửi 20-09-2014 - 20:38

khó vãi






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh