Đến nội dung

Hình ảnh

$2xf(f(x))=f(x)\begin{bmatrix} x+f(f(x)) \end{bmatrix}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
tohoproirac

tohoproirac

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

  Tìm hàm số $f:(0;+\infty )\rightarrow (0;+\infty)$ thỏa 

          i)  f là một toàn ánh

          ii) $2xf(f(x))=f(x)\begin{bmatrix} x+f(f(x)) \end{bmatrix}$ với x dương


<3 Mãi mãi một tình yêu <3

:wub: bruce_h4h.gif

赵薇苏有朋


#2
thedragonknight

thedragonknight

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết

  Tìm hàm số $f:(0;+\infty )\rightarrow (0;+\infty)$ thỏa 

          i)  f là một toàn ánh

          ii) $2xf(f(x))=f(x)\begin{bmatrix} x+f(f(x)) \end{bmatrix}$ với x dương

Từ pt ii) ta có:

$x(2f(f(x))-f(x))=f(x)f(f(x)) \forall x>0$

Suy ra: $f(f(x))>\frac{f(x)}{2} \forall x>0$

suy ra: $f(x)>\frac{x}{2} \forall x>0 $ (1)

Ta có: $f(f(x))=\frac{f(x)}{2}+\frac{f(x)f(f(x))}{x} \forall x>0$ (2)

Áp dụng (1) ta đc:

$f(f(x))>(\frac{1}{2}+\frac{a^2_{1}}{2})f(x)$ với $a_1=\frac{1}{2}$

Tương tự ta chứng minh đc 

$f(f(x))>a_n.x \forall x>0$ 

với $(a_n)$ là dãy truy hồi xác định bởi:

$a_1=\frac{1}{2}; a_{n+1}=\frac{a^2_{n}}{2}+\frac{1}{2}$

Dễ dàng c/m đc: $lim a_n=1$

Suy ra $f(x)\geq x \forall x>0$

Giả sử tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0)>x_0.\sqrt{2}$

Khi đó $f(f(x_0))>x_0.\sqrt{2}$ 

Kết hơp với pt ii) ta suy ra $f(f(x_0)>\frac{sqrt{2}}{2}.b_n.x_0$ (3) 

với $(b_n): b_1=\sqrt{2}; b_{n+1}=b_{n}+1$

Dễ thấy $lim b_{n}=+\triangleright$ 

Mâu thuẫn với (3)

Vậy $f(x)<xsqrt{2} \forall x>0$

Tương tự ta cũng chứng minh đc: $f(x)\leq x \forall x>0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedragonknight: 24-12-2014 - 10:25





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh