Tìm hàm số $f:(0;+\infty )\rightarrow (0;+\infty)$ thỏa
i) f là một toàn ánh
ii) $2xf(f(x))=f(x)\begin{bmatrix} x+f(f(x)) \end{bmatrix}$ với x dương
Tìm hàm số $f:(0;+\infty )\rightarrow (0;+\infty)$ thỏa
i) f là một toàn ánh
ii) $2xf(f(x))=f(x)\begin{bmatrix} x+f(f(x)) \end{bmatrix}$ với x dương
<3 Mãi mãi một tình yêu <3
赵薇苏有朋
Tìm hàm số $f:(0;+\infty )\rightarrow (0;+\infty)$ thỏa
i) f là một toàn ánh
ii) $2xf(f(x))=f(x)\begin{bmatrix} x+f(f(x)) \end{bmatrix}$ với x dương
Từ pt ii) ta có:
$x(2f(f(x))-f(x))=f(x)f(f(x)) \forall x>0$
Suy ra: $f(f(x))>\frac{f(x)}{2} \forall x>0$
suy ra: $f(x)>\frac{x}{2} \forall x>0 $ (1)
Ta có: $f(f(x))=\frac{f(x)}{2}+\frac{f(x)f(f(x))}{x} \forall x>0$ (2)
Áp dụng (1) ta đc:
$f(f(x))>(\frac{1}{2}+\frac{a^2_{1}}{2})f(x)$ với $a_1=\frac{1}{2}$
Tương tự ta chứng minh đc
$f(f(x))>a_n.x \forall x>0$
với $(a_n)$ là dãy truy hồi xác định bởi:
$a_1=\frac{1}{2}; a_{n+1}=\frac{a^2_{n}}{2}+\frac{1}{2}$
Dễ dàng c/m đc: $lim a_n=1$
Suy ra $f(x)\geq x \forall x>0$
Giả sử tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0)>x_0.\sqrt{2}$
Khi đó $f(f(x_0))>x_0.\sqrt{2}$
Kết hơp với pt ii) ta suy ra $f(f(x_0)>\frac{sqrt{2}}{2}.b_n.x_0$ (3)
với $(b_n): b_1=\sqrt{2}; b_{n+1}=b_{n}+1$
Dễ thấy $lim b_{n}=+\triangleright$
Mâu thuẫn với (3)
Vậy $f(x)<xsqrt{2} \forall x>0$
Tương tự ta cũng chứng minh đc: $f(x)\leq x \forall x>0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedragonknight: 24-12-2014 - 10:25
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh