Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng từ $n+1$ số bất kì trong $2n$ số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

Bài toán : Chứng minh rằng từ $n+1$ số bất kì trong $2n$ số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau.


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Bài toán : Chứng minh rằng từ $n+1$ số bất kì trong $2n$ số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau.

Sửa lại đề : "Chứng minh rằng từ $n+1$ số bất kỳ trong $2n$ số NGUYÊN DƯƠNG đầu tiên ($n\geqslant 1$) luôn tìm được ..."

 

GIẢI :

Giả sử trong $2n$ số nguyên dương đầu tiên có đúng $m$ số nguyên tố là $p_{1},p_{2},...,p_{m}$.Dễ chứng minh được rằng $m\leqslant n$.

Chia $2n$ số nguyên dương đó thành $m+1$ tập con (có thể giao nhau) $A_{0},A_{1},A_{2},...,A_{m}$, trong đó :

$A_{0}=\left \{ 1 \right \}$

$A_{i}$ ($1\leqslant i\leqslant m$) gồm $p_{i}$ và tất cả các bội của nó trong $2n$ số nguyên dương đầu tiên.

Xét 2 TH :

$a)$ $m< n$ : 

   Khi đó $m+1< n+1\Rightarrow$ trong $n+1$ số bất kỳ (chọn trong $2n$ số đó) chắc chắn có $2$ số thuộc cùng 1 tập con và là bội của nhau, đó là 2 số cần tìm.

$b)$ $m=n$ :

   + Nếu trong $n+1$ số đó có số $1$ (thuộc tập $A_{0}$) thì đpcm là hiển nhiên.

   + Nếu trong $n+1$ số đó không có số nào thuộc tập $A_{0}$ thì chúng chỉ nằm trong $m$ tập con còn lại.

      Vì $m<n+1$ nên có ít nhất 2 số (trong $n+1$ số đó) thuộc cùng 1 tập con và là bội của nhau, đó là 2 số cần tìm.

 

Như vậy, trong mọi TH, luôn tìm được 2 số là bội của nhau từ $n+1$ số bất kỳ chọn trong $2n$ số nguyên dương đầu tiên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 16-02-2015 - 06:40

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Bài toán : Chứng minh rằng từ $n+1$ số bất kì trong $2n$ số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau.

Viết $n+1$ số đã cho dưới dạng :

$a_1=2^{k_1}b_1, a_2=2^{k_2}b_2,..., a_{n+1}=2^{k_{n+1}}b_{n+1}$

Trong đó $b_1,b_2,...,b_{n+1}$ là các số lẻ

Ta có : $1\leq b_1,b_2,...,b_{n+1}\leq 2n-1$

Mặt khác trong khoảng từ $1$ đến $2n-1$ có đúng $n$ số lẻ nên tồn tại hai số $m\leq n$ sao cho $b_m=b_n$

Khi đó trong hai số $a_n$ và $a_m$ có một số là bội số của số kia



#4
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

Viết $n+1$ số đã cho dưới dạng :

$a_1=2^{k_1}b_1, a_2=2^{k_2}b_2,..., a_{n+1}=2^{k_{n+1}}b_{n+1}$

Trong đó $b_1,b_2,...,b_{n+1}$ là các số lẻ

Ta có : $1\leq b_1,b_2,...,b_{n+1}\leq 2n-1$

Mặt khác trong khoảng từ $1$ đến $2n-1$ có đúng $n$ số lẻ nên tồn tại hai số $m\leq n$ sao cho $b_m=b_n$

Khi đó trong hai số $a_n$ và $a_m$ có một số là bội số của số kia

Có một điểm hạn chế trong bài của bạn : dãy $(a_n)$ tất cả đều là số chẵn mà trong khi đó đề là các số bất kỳ.....


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh