Chủ đề này có 2 trả lời

[Miranda]

Chứng minh rằng: với mọi a, b: $a+b\geq 0$, ta có:

$\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n}$, với mọi n$\in N^{*}$

[Hoang Long Le]

Chứng minh rằng: với mọi a, b: $a+b\geq 0$, ta có:

$\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n}$, với mọi n$\in N^{*}$

Với n=0, bđt đúng

Với n=1, bđt đúng

Giả sử bđt trên đúng với n=k, ta c/m bđt cũng đúng với n=k+1

Ta có: $(\frac{a+b}{2})^{k+1}=\frac{a+b}{2}.(\frac{a+b}{2})^k\leq \frac{a+b}{2}.\frac{a^k+b^k}{2}=\frac{(a+b)(a^k+b^k)}{4}$ (do giả thiết quy nạp)

Cần chứng minh: $\frac{(a+b)(a^k+b^k)}{4}\leq \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\Leftrightarrow a^{k+1}+ba^k+ab^k+b^{k+1}\leq 2a^{k+1}+2b^{k+1}\Leftrightarrow (a-b)(a^k-b^k)\geq 0$ luôn đúng với mọi a,b

Vậy bđt được chứng minh

[Bonjour]

Chứng minh rằng: với mọi a, b: $a+b\geq 0$, ta có:

$\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n}$, với mọi n$\in N^{*}$

Hai biến chả là gì cả ,mình sẽ chứng minh cho bạn n biến lun:

 Bài toán: 

     Cho $a_i\geq 0 (i=\overline{1,n})$ 

   Chứng minh rằng với mọi $m\in \mathbb{N}^{*}$ ,ta có:

   $\frac{a_1^{m}+a_2^{m}+...+a_n^{m}}{n}\geq (\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n})^{m}$                ( @)

 Với $m=1$ , @ đúng

 Giả sử @ đúng với $m$

 Tức là $\frac{a_1^{m}+a_2^{m}+...+a_n^{m}}{n}\geq (\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n})^{m}$   

  $\Leftrightarrow (\frac{a_1^m+a_2^m+...a_n^m}{n}).(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n})\geq (\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n})^{m+1}$    (1)

Giả sử $a_1\leq a_2\leq a_3\leq ...\leq a_n\Rightarrow a_1^m\leq a_2^m\leq ...\leq a_n^{m}$

  Áp dụng BĐT Chebyshev:

 $ \frac{a_1^{m+1}+a_2^{m+1}+...+a_n^{m+1}}{n}\geq \frac{a_1+a_2+a_3+...a_4}{n}.\frac{a_1^{m}+a_2^{m}+a_3^{m}+...+a_n^{m}}{n}$                                                                                                                                                                                                 (2)

Từ (1) và (2) THÌ:

  $\Rightarrow (\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n})^{m+1}\leq \frac{a_1^{m+1}+a_2^{m+1}+a_3^{m+1}+...+a_n^{m+1}}{n}$

  Xong