Cho a,b,c,d>0 thỏa mãn $\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(b+1)^{2}}+\frac{1}{(c+1)^{2}}+\frac{1}{(d+1)^{2}}\leq 1$
Chứng minh rằng : $abcd\geq 1$
$\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(b+1)^{2}}+\frac{1}{(c+1)^{2}}+\frac{1}{(d+1)^{2}}\leq 1$
Bắt đầu bởi mayumichan, 09-01-2015 - 12:51
#2
Đã gửi 09-01-2015 - 14:10
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho a,b,c,d>0 thỏa mãn $\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(b+1)^{2}}+\frac{1}{(c+1)^{2}}+\frac{1}{(d+1)^{2}}\leq 1$
Chứng minh rằng : $abcd\geq 1$
Sử dụng BĐT phụ quen thuộc sau
$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geqslant \frac{1}{1+xy}\Leftrightarrow (xy-1)^2\geqslant 0$
Kết hợp giả thiết ta có được
$1\geqslant \frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+cd}=\frac{2+ab+cd}{1+ab+cd+abcd}$
$\Rightarrow abcd\geqslant 1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=1$
- nguyenhongsonk612 yêu thích
#3
Đã gửi 29-04-2021 - 11:13
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Đặt $\frac{1}{a^2+1}=x;\frac{1}{b^2+1}=y;\frac{1}{c^2+1}=z;\frac{1}{d^2+1}=t$ thì $0<x,y,z,t<1$; $x^2+y^2+z^2+t^2\leqslant 1$ và ta cần chứng minh: $(1-x)(1-y)(1-z)(1-t)\geqslant xyzt$
Đây là bất đẳng thức quen thuộc! 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 29-04-2021 - 11:13
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
