Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ sao cho $A^2=A$.
Chứng minh $r(A)+r(E-A)=n$
#2
Đã gửi 11-01-2015 - 19:17
quangbinng
-
- Thành viên
-
- 190 Bài viết
Trung sĩ
Sử dụng BDT sylvester $n =r(E)=r (A+E-A) \le r(A)+r(E-A) \le n+r[A(E-A)]=n$ suy ra đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangbinng: 11-01-2015 - 19:23
- 25 minutes yêu thích
Ma trận biểu diễn của ánh xạ $\varphi : V_E \rightarrow U_W$
$U---->V : [\varphi(e_i)]^T=[w_i]^TA$
$Av_S=\varphi(v)_T$
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận chuyển cơ sử từ $S$ sang $T$.
$S---->T : (s_1,s_2,..,s_n).P=(t_1,t_2,...,t_n)$
$v_S=Pv_T$
---------------------------------------------------------------------------------------------------
https://web.facebook...73449309343792/
nhóm olp 2016
#3
Đã gửi 13-01-2015 - 02:36
phudinhgioihan
-
- Biên tập viên
-
- 348 Bài viết
PĐGH$\Leftrightarrow$TDST
Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ sao cho $A^2=A$.
Chứng minh $r(A)+r(E-A)=n$
Sử dụng BDT sylvester $n =r(E)=r (A+E-A) \le r(A)+r(E-A) \le n+r[A(E-A)]=n$ suy ra đpcm
Sử dụng các bất đẳng thức phụ thì phải chứng minh cho nên cũng không phải cách hay. Ta thử cách giải bình thường xem 
Giả sử $A \in M_n(\mathbb{R})$
$\forall X \in \mathbb{R}^n, \; X=AX+(E-A)X \Rightarrow \mathbb{R}^n \subset ImA+Im(E-A)$, hơn nữa, vì $Im A+Im (E-A) \subset \mathbb{R}^n$ nên
$\mathbb{R}^n=ImA+Im(E-A)$
Theo giả thiết suy ra $A(E-A)=0$ nên $ImA \cap Im(E-A)= \{0\}$
Như vậy $\mathbb{R}^n=ImA\oplus Im(E-A)$, suy ra $rank A+rank (E-A)=n$
Nói thêm, lời giải trên tiến thêm chút xíu là cm được $A$ chéo hóa được trên $\mathbb{R}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 13-01-2015 - 02:37
- 25 minutes và quangbinng thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
