Chủ đề này có 1 trả lời

[25 minutes]

Bài 1: Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ với $det(A)>0$ và $A^{-1}=15A$

Tính $det(A^{21}-A)$

Bài 2: Cho ma trận $A$ là ma trận vuông cấp $n$ với các phần tử là các số nguyên

Chứng minh ma trận $4A+E_n$ khả nghịch

Bài 3: Cho $A=[a_{ij}]_{n.n}$ với $a_{ij}=i+j$, $i,j=1,2,...,n$

Tính $r(A)$

[quangbinng]

 Bài 1) thì $A^{-1}=15A$ nên ta nhân A vào 2 vế được $E_n=15A^2$ suy ra $\frac{1}{15}E=A^2$. Từ đó $A^{21}=(A^2.A^2....A^2).A=\frac{1}{15^{10}}.A$

 

suy ra $det(A^{21}-A)=det [(\frac{1}{15^{10}}-1)A]=(\frac{1}{15^{10}}-1)^n.det A$

 

giờ chỉ cần tính nốt $det A$ là ra đáp án  nhưng nó dễ vì từ  $E_n=15A^2$ ta suy ra $1=det A.det 15A=det A.15^n.det A$  suy ra $det A=\sqrt{\frac{1}{15^n}}$.

 

 Bài 2) $4A$ là ma trận mà các phần tử được nhân thêm 4 nên lúc này tất cả các phần tử đều là số chẵn, $4A+E$ là ma trận mà các phần tử là số chẵn, chỉ có các phần tử trên đường chéo là số lẻ. Ta sẽ chứng minh nó khả nghịch bằng cách chứng minh định thức của nó là số lẻ. Thật vậy, khi khai triển theo dòng thứ nhất được dạng $det=a_{11}.A_{11}+a_{12}A_{21}+...+.a_{1n}A_{n1}$ . vì $a_{12}A_{21}+...+.a_{1n}A_{n1}$ là số chẵn nên ta xem $a_{11}A_{11}$ chẵn hay lẻ?

 

 vì $a_{11}$ lẻ nên ta xem $A_{11}$ chẵn hay lẻ? làm tương tự đến bước cuối ta chỉ cần xem $a_{nn}$ là chẵn hay lẻ. nhưng nó là số lẻ. Nên định thức là lẻ.

 

Bài 3) nếu $n=1$ tức cấp ma trận là $1$ thì $A=[1+1]=[2]$ , có $rank =1$

 

nếu $n=2$ thì $rank =2$.

 

nếu $n>2$ lấy dòng $n$ trừ dòng $n-1$ thì dòng $n$ khi đó thành dòng $1 1 1 1 1....1$. 

lấy dòng $n-1$ trừ dòng $n-2$ thì dòng $n-1$ thành $1 1 1 1 1....1$ 

làm cho đến khi dòng thứ 2 cũng thành $1.1.1.1..1$

 

giờ lấy dòng từ $n$ đến $3$ trừ đi dòng $2$ để thành $0 0 0 ...0$ hết thì rank lúc đó bằng $2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangbinng: 12-01-2015 - 22:16