Chủ đề này có 2 trả lời

[vuihatca98]

Chứng minh rằng: $1.(C_{n}^{1})^{2} + 2(C_{n}^{2})^{2} + ... + n(C_{n}^{n})^{2} = nC_{2n+1}^{n-1}, \forall n\in N$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuihatca98: 12-01-2015 - 21:59

[vandong98]

Ta có: $k.(C_{n}^{k})^{2}=k.\frac{n!}{k!.(n-k)!}.\frac{n!}{k!.(n-k)!}=n.C_{n-1}^{k-1}.C_{n}^{k}=n.C_{n-1}^{k-1}.C_{n}^{n-k}$

Do đó: $VT=n(\sum_{k=1}^{n}C_{n-1}^{k-1}.C_{n}^{n-k})$

Xét 2 đa thức: $(x+1)^{2n-1}$ và $(x+1)^{n-1}.(x+1)^{n}$ có hệ số của $x^{n-1}$ lần lượt là: $C_{2n-1}^{n-1}$ và $\sum_{k=1}^{n}C_{n-1}^{k-1}.C_{n}^{n-k}$

Từ đó suy ra đpcm

[supermember]

Chứng minh rằng: $1.(C_{n}^{1})^{2} + 2(C_{n}^{2})^{2} + ... + n(C_{n}^{n})^{2} = nC_{2n+1}^{n-1}, \forall n\in N$

 

 

Bài này hồi đi học supermember giải như sau:

 

Nếu $ A = 0.(C_{n}^{0})^{2} + 1.(C_{n}^{1})^{2} + 2(C_{n}^{2})^{2} + ... + n(C_{n}^{n})^{2}$ thì theo tính chất $ C_{n}^{k}= C_{n}^{n-k}$, ta viết tổng $A$ theo thứ tự ngược lại từ trái qua phải và có :

 

$A = n.(C_{n}^{0})^{2} + (n-1) \cdot (C_{n}^{1})^{2} + ... + 0 \cdot(C_{n}^{n})^{2}$

 

Suy ra $2A = n \left( (C_{n}^{0})^{2} + (C_{n}^{1})^{2} + (C_{n}^{2})^{2} + ... + (C_{n}^{n})^{2} \right) = n C_{2n}^{n} $

 

Suy ra $ A = \frac{1}{2} \cdot n C_{2n}^{n} = nC_{2n+1}^{n-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 12-01-2015 - 23:19