Chủ đề này có 3 trả lời

[quangbinng]

Câu 2. Cho $A,B,C,D\in Mat(n\times n,\mathbb{C})$. Chứng minh rằng nếu ma trận $\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}$ có hạng bằng $n$ thì $$\begin{vmatrix} \left |A \right | & \left |B \right |\\ \left |C \right | & \left |D \right | \end{vmatrix}=0$$ 

[phudinhgioihan]

Câu 2. Cho $A,B,C,D\in Mat(n\times n,\mathbb{C})$. Chứng minh rằng nếu ma trận $\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}$ có hạng bằng $n$ thì $$\begin{vmatrix} \left |A \right | & \left |B \right |\\ \left |C \right | & \left |D \right | \end{vmatrix}=0$$ 

 

Nếu $|A| \neq 0$, tức $A^{-1}$ tồn tại thì

 

$$\begin{pmatrix}I &O \\-CA^{-1} &I\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A &B \\C &D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A &B \\0 &D-CA^{-1}B \end{pmatrix}$$

 

$$\Rightarrow rank \begin{pmatrix}A &B \\0 &D-CA^{-1}B \end{pmatrix}=rank \begin{pmatrix}A &B \\C &D \end{pmatrix}=n$$

 

Ta chứng minh bất đẳng thức:

$$rank \begin{pmatrix}M & T\\ O& N\end{pmatrix} \ge rank M+rank N \;\;, (M,N,T) \in \left(\mathbf{M}_{n}(\mathbb{C})\right)^3$$

 

Giả sử, $rank M=p, \; rank N=q $, khi đó $M$ có p cột độc lập tuyến tính là các $m_i , \;( i=1,...,p)$ và $N$ có $q$ cột độc lập tuyến tính là các $n_i, \; (i=1,...,q)$.

Ký hiệu $t_i, \; (i=1,...,q)$ là các cột tương ứng của $T$ nằm trên $n_i$ trong $\begin{pmatrix}M & T\\O & N\end{pmatrix}$

 

Xét tổ hợp tuyến tính $x_1\begin{pmatrix} m_1 \\ 0 \end{pmatrix}+...+x_p\begin{pmatrix} m_p \\ 0 \end{pmatrix}+y_1\begin{pmatrix} t_1 \\ n_1 \end{pmatrix}+...+y_q\begin{pmatrix} t_q \\ n_q \end{pmatrix}=0$

 

$$\Rightarrow \sum_{i=1}^p x_i m_i+\sum_{i=1}^q y_i t_i=0 \; \wedge\; \sum_{i=1}^q y_in_i=0$$

 

$$\Rightarrow \sum_{i=1}^p x_im_i=0 \; \wedge \; y_j=0 ,\; (j=1,...,q)$$

 

$$\Rightarrow x_i=0, (\;i=1,...,p) \;\;, y_j=0 ,\; (j=1,...,q)$$

 

Suy ra $p+q$ cột $\begin{pmatrix} m_1 \\ 0 \end{pmatrix},...,\begin{pmatrix} m_p \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} t_1 \\ n_1 \end{pmatrix},...,\begin{pmatrix} t_q \\ n_q \end{pmatrix}$ độc lập tuyến tính, do đó

$$rank \begin{pmatrix}M & T\\ O& N\end{pmatrix} \ge p+q=rank M+rank N$$

 

Bằng cách thay đổi vị trí các cột của $\begin{pmatrix}M & T\\ O& N\end{pmatrix}$ (không làm thay đổi hạng), ta cũng có

 

$$rank \begin{pmatrix}T & M\\ N& O\end{pmatrix} \ge rank M+rank N$$

 

Áp dụng:

 

$$rank \begin{pmatrix}A &B \\0 &D-CA^{-1}B \end{pmatrix} \ge rank A+rank (D-CA^{-1}B)$$

$$\Rightarrow rank (D-CA^{-1}B)=0 \Leftrightarrow D=CA^{-1}B$$

$$\Rightarrow |AD|=|BC|$$

 

Nếu $|A|=0$.

 

* Nếu $|B|=|C|=0$ thì hiển nhiên $|AD|=|BC|=0$

 

* Nếu,$|B| \neq 0$ hoặc $|C|\neq 0$, chẳng hạn $|B| \neq 0$, do đó $B^{-1}$ tồn tại.

 

$$\begin{pmatrix}I &0 \\-DB^{-1} &I \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A &B \\C &D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A &B \\C-DB^{-1}A &0 \end{pmatrix}$$

 

$$\Rightarrow rank \begin{pmatrix}A &B \\C-DB^{-1}A &0 \end{pmatrix}=rank \begin{pmatrix}A &B \\C &D \end{pmatrix}=n$$

 

Lại có: $$rank \begin{pmatrix}A &B \\C-DB^{-1}A &0 \end{pmatrix} \ge rank B+rank(C-DB^{-1}A)$$

$$\Rightarrow (C-DB^{-1}A)=0 \Leftrightarrow C=DB^{-1}A$$

 

$$\Rightarrow |BC|=|AD|$$

 

Vậy $\begin{vmatrix} \left |A \right | & \left |B \right |\\ \left |C \right | & \left |D \right | \end{vmatrix}=|AD|-|BC|=0$

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Câu 2. Cho $A,B,C,D\in Mat(n\times n,\mathbb{C})$. Chứng minh rằng nếu ma trận $\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}$ có hạng bằng $n$ thì $$\begin{vmatrix} \left |A \right | & \left |B \right |\\ \left |C \right | & \left |D \right | \end{vmatrix}=0$$ 

Trường hợp $rank A=n$

Các hàng của ma trận $\left ( C,D \right )$ là tổ hợp tuyến tính của các hàng của $\left ( A,B \right )$ nên $\left ( C,D \right )=Q\left ( A,B \right )\Rightarrow C=QA,D=QB\Rightarrow \left | C \right |=\left | Q \right |\left | A \right |,\left | D \right |=\left | Q \right |\left | B \right |$. Suy ra điều phải chứng minh (hai hàng tỷ lệ với nhau).

(hình như hai cách giải bản chất như nhau).

 

Trường hợp $rank A < n$ (như anh phudinhgioihan)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChangBietDatTenSaoChoDoc: 18-01-2015 - 19:28

[phudinhgioihan]

Trường hợp $rank A=n$

Các hàng của ma trận $\left ( C,D \right )$ là tổ hợp tuyến tính của các hàng của $\left ( A,B \right )$ nên $\left ( C,D \right )=Q\left ( A,B \right )\Rightarrow C=QA,D=QB\Rightarrow \left | C \right |=\left | Q \right |\left | A \right |,\left | D \right |=\left | Q \right |\left | B \right |$. Suy ra điều phải chứng minh (hai hàng tỷ lệ với nhau).

(hình như hai cách giải bản chất như nhau).

 

Trường hợp $rank A < n$ (như anh phudinhgioihan)

 

Nếu mà giải chi tiết ra thì vẫn còn khá dài, xin chốt lời giải ngắn nhất vậy (có lẽ )

 

Do $rank \begin{pmatrix} A& B\\ C&D \end{pmatrix}=n$ nên bằng các phép biến đổi sơ cấp, ta đưa được $\begin{pmatrix} A& B\\C &D \end{pmatrix}$ về dạng $\begin{pmatrix} I_n& O\\O &O \end{pmatrix}$,

do đó, tồn tại $P,Q \in \mathbf{M}_{2n}(\mathbb{C})$ khả nghịch sao cho $\begin{pmatrix}A &B \\C &D \end{pmatrix}=P \begin{pmatrix} I_n& O\\O &O \end{pmatrix}Q$

 

Phân tích $P=\begin{pmatrix}P_1 &P_2 \\ P_3& P_4\end{pmatrix} \;\;, Q=\begin{pmatrix}Q_1 &Q_2 \\Q_3 & Q_4\end{pmatrix},\;\; P_i,Q_i \in \mathbf{M}_n(\mathbb{C}) \; \forall \; i \in \{1;2;3;4\}$

 

Suy ra $$\begin{pmatrix} A& B\\ C&D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}P_1 &P_2 \\ P_3& P_4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_n& O\\O &O \end{pmatrix}\begin{pmatrix}Q_1 &Q_2 \\Q_3 & Q_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}P_1Q_1 &P_1Q_2 \\P_3Q_1 & P_3Q_2\end{pmatrix}$$

 

$$\Rightarrow A=P_1Q_1\;\;,B=P_1Q_2\;\;, C=P_3Q_1\;\;, D=P_3Q_2$$

 

$$\Rightarrow |A||D|=|P_1||P_3||Q_1||Q_2|=|B||C|$$

$$\Leftrightarrow \begin{vmatrix}|A| &|B| \\|C| & |D|\end{vmatrix}=0$$

 

 

Nói thêm, nếu $A$ khả nghịch, do đó $P_1,Q_1$ cũng khả nghịch, suy ra $D=P_3Q_1{Q_1}^{-1}{P_1}^{-1}P_1Q_2=CA^{-1}B$