Môn GIẢI TÍCH
Bài 1:
Cho dãy $\{x_n\}$ được xác định như sau
$$x_1>0, \;\;\;, x_{n+1}=\dfrac{x_n^3+4x_n}{x_n^2+1},\; n \ge 1$$
Chứng minh rằng $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{x_n}{n^2}=0$
Bài 2:
Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn các điều kiện: $f(x)>0$, đơn điệu tăng và $f^{''}(x)<0 \;, \forall x>0$. Chứng minh tồn tại số $M$ sao cho
$$f(x)<Me^\frac{x}{2014} ,\; \forall x>0$$
Bài 3:
Cho $f:[0;1] \to [0;+\infty)$ khả vi và hàm đạo hàm cấp một đơn điệu giảm và $f(0)=0,\; f^{'}(1)>0$, chứng minh
$$\int_{0}^1 \dfrac{dx}{f^2(x)+1} \le \dfrac{f(1)}{f^{'}(1)}$$
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 4:
Cho $f,g: \mathbb{R} \to [0;+\infty)$ là các hàm số liên tục thỏa mãn
$$\left| f(x)-x \right| \le g(x)-g(f(x)) \;, \forall x \in \mathbb{R}$$
Chứng minh rằng phương trình $f(x)=x$ có nghiệm.
Bài 5:
Chứng minh nếu $f(x)$ là hàm số liên tục và $f(x) \neq x\;, \forall x \in \mathbb{R}$ thì $f(f(x)) \neq x ,\; \forall x \in \mathbb{R}$
Bài 6:
Tìm hàm số $f(x)$ đơn điệu tăng trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn:
-
$f(-x)=-f(x), \; \forall x \in \mathbb{R}$
-
$f(x+1)=f(x)+1 ,\; \forall x \in \mathbb{R}$
-
$f(\frac{1}{x})=\dfrac{f(x)}{x^2},\; \forall x \neq 0$
Môn ĐẠI SỐ
Bài 1:
Cho các số thực $a_1,...,a_n,x_1,...,x_n , \; n \ge 2$, tính định thức cấp $n$ sau:
$$D=\begin{vmatrix}a_1& a_2& a_3& \cdots& a_{n-1}&a_n\\-x_1 &x_2 &0 &\cdots &0 &0 \\0 &-x_2 &x_3 &\cdots &0 &0 \\\cdots \cdots&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0 &0 & 0& \cdots& -x_{n-1}& x_n\end{vmatrix}$$
Bài 2:
Cho $A,B$ là các ma trận thực cấp $n$ khác nhau thỏa mãn $A^3=B^3,\; A^2B=B^2A$. Chứng minh $A^2+B^2$ suy biến.
Bài 3:
Cho $A,B$ là các ma trận vuông khả nghịch, chứng minh nếu $A+B$ khả nghịch thì $A^{-1}+B^{-1}$ cũng khả nghịch.
Bài 4:
Cho $A$ là ma trận thức cấp $4\times 2$ và $B$ là ma trận thực cấp $2 \times 4$ sao cho
$$AB=\begin{pmatrix}1&0&-1&0 \\0&1&0&-1 \\-1&0&1&0 \\0&-1&0&1 \end{pmatrix}$$
Tìm $BA$
Bài 5:
Xác định ma trận $A$ biết rằng ma trận phụ hợp của nó là
$$A^{*}=\begin{pmatrix} m^2-1&1-m&1-m\\1-m&m^2-1&1-m \\1-m&1-m&m^2-1 \end{pmatrix}\;, m \neq 1, m\neq -2$$
Bài 6:
Cho hệ phương trình
$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0\end{cases}$$
Với các hệ số $a_{ij}$ thỏa mãn
- $a_{11},a_{22},a_{33}$ là các số thực dương
- Tất cả các hệ số khác âm
- Trong mỗi phương trình, tổng các hệ số là số thực dương
Chứng minh hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x_1=x_2=x_3=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 20-01-2015 - 11:44