Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Kinh tế quốc dân HN 2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết

Môn GIẢI TÍCH

Bài 1:

Cho dãy $\{x_n\}$ được xác định như sau

$$x_1>0, \;\;\;, x_{n+1}=\dfrac{x_n^3+4x_n}{x_n^2+1},\; n \ge 1$$

 

Chứng minh rằng $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{x_n}{n^2}=0$

 

Bài 2:

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn các điều kiện: $f(x)>0$, đơn điệu tăng và $f^{''}(x)<0 \;, \forall x>0$. Chứng minh tồn tại số $M$ sao cho

$$f(x)<Me^\frac{x}{2014} ,\; \forall x>0$$

 

Bài 3:

Cho $f:[0;1] \to [0;+\infty)$ khả vi và hàm đạo hàm cấp một đơn điệu giảm và $f(0)=0,\; f^{'}(1)>0$, chứng minh

$$\int_{0}^1 \dfrac{dx}{f^2(x)+1} \le \dfrac{f(1)}{f^{'}(1)}$$

Khi nào đẳng thức xảy ra?

 

Bài 4:

Cho $f,g: \mathbb{R} \to [0;+\infty)$ là các hàm số liên tục thỏa mãn

$$\left| f(x)-x \right| \le g(x)-g(f(x)) \;, \forall x \in \mathbb{R}$$

Chứng minh rằng phương trình $f(x)=x$ có nghiệm.

 

Bài 5:

Chứng minh nếu $f(x)$ là hàm số liên tục và $f(x) \neq x\;, \forall x \in \mathbb{R}$ thì $f(f(x)) \neq x ,\; \forall x \in \mathbb{R}$

 

Bài 6:

Tìm hàm số $f(x)$ đơn điệu tăng trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn:

  • $f(-x)=-f(x), \; \forall x \in \mathbb{R}$

  • $f(x+1)=f(x)+1 ,\; \forall x \in \mathbb{R}$

  • $f(\frac{1}{x})=\dfrac{f(x)}{x^2},\; \forall x \neq 0$

 

 

Môn ĐẠI SỐ

 

Bài 1:

Cho các số thực $a_1,...,a_n,x_1,...,x_n , \; n \ge 2$, tính định thức cấp $n$ sau:

 

$$D=\begin{vmatrix}a_1& a_2& a_3& \cdots& a_{n-1}&a_n\\-x_1 &x_2 &0 &\cdots &0 &0  \\0 &-x_2 &x_3 &\cdots &0 &0  \\\cdots \cdots&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots  \\0 &0 & 0& \cdots& -x_{n-1}& x_n\end{vmatrix}$$

 

Bài 2:

Cho $A,B$ là các ma trận thực cấp $n$ khác nhau thỏa mãn $A^3=B^3,\; A^2B=B^2A$. Chứng minh $A^2+B^2$ suy biến.

 

Bài 3:

Cho $A,B$ là các ma trận vuông khả nghịch, chứng minh nếu $A+B$ khả nghịch thì $A^{-1}+B^{-1}$ cũng khả nghịch.

 

Bài 4:

Cho $A$ là ma trận thức cấp $4\times 2$ và $B$ là ma trận thực cấp $2 \times 4$ sao cho

$$AB=\begin{pmatrix}1&0&-1&0 \\0&1&0&-1 \\-1&0&1&0 \\0&-1&0&1 \end{pmatrix}$$

 

Tìm $BA$

 

Bài 5:

 

Xác định ma trận $A$ biết rằng ma trận phụ hợp của nó là

$$A^{*}=\begin{pmatrix} m^2-1&1-m&1-m\\1-m&m^2-1&1-m \\1-m&1-m&m^2-1 \end{pmatrix}\;, m \neq 1, m\neq -2$$

 

Bài 6:

 

Cho hệ phương trình

 

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0\end{cases}$$

 

Với các hệ số $a_{ij}$ thỏa mãn

  • $a_{11},a_{22},a_{33}$ là các số thực dương
  • Tất cả các hệ số khác âm
  • Trong mỗi phương trình, tổng các hệ số là số thực dương

Chứng minh hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x_1=x_2=x_3=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 20-01-2015 - 11:44

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#2
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

 

Môn GIẢI TÍCH

 

Bài 3:

Cho $f:[0;1] \to [0;+\infty)$ khả vi và hàm đạo hàm cấp một đơn điệu giảm và $f(0)=0,\; f^{'}(1)>0$, chứng minh

$$\int_{0}^1 \dfrac{dx}{f^2(x)+1}=\dfrac{f(1)}{f^{'}(1)}$$

Khi nào đẳng thức xảy ra?

 

Bài 5:

Chứng minh nếu $f(x)$ là hàm số liên tục và $f(x) \neq x\;, \forall x \in \mathbb{R}$ thì $f(f(x)) \neq x ,\; \forall x \in \mathbb{R}$

 

 

 

Bài 3 chắc là không phải dấu = :'( .

 

Còn câu 5 dễ nhất :D .

 

Vì $f$ liên tục và $f(x) \neq x, \forall x \in \mathbb{R}$ nên $f(x) > x$ hoặc $f(x) < x$ , $ \forall x \in \mathbb{R}$.

 

Nếu $f(x)>x$ , $ \forall x \in \mathbb{R}$ thì $f(f(x))>f(x)>x$ => $f(f(x)) \neq x$

 

Tương tự cho $f(x)<x$.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#3
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

 

 

Môn GIẢI TÍCH

Bài 6:

Tìm hàm số $f(x)$ đơn điệu tăng trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn:


  • $f(-x)=-f(x), \; \forall x \in \mathbb{R}$


  • $f(x+1)=f(x)+1 ,\; \forall x \in \mathbb{R}$


  • $f(\frac{1}{x})=\dfrac{f(x)}{x^2},\; \forall x \neq 0$

  •  

 

 

 

 

Cho $x=0$ ta có $f(0)=0$.
Cho $x=-1$ ta được $f(0)=f(-1)+1 \Rightarrow -1=f(-1)$ 
Suy ra $f(x)$ là hàm lẻ.
Cho $x\neq 1$
$$f\left(\frac{1}{1-x} \right )=\frac{1}{(1-x)^2}f(1-x)=\frac{f(1)-f(x)}{(1-x)^2}\;\;(1)$$
 

$f\left(\frac{1}{1-x} \right )  =f\left(1+\frac{x}{1-x} \right )=f(1)+\frac{x}{1-x}=1+f\left(\frac{1}{\frac{1-x}{x}} \right ) $
 $=1+\frac{x^2}{(1-x)^2}.f\left(\frac{1-x}{x} \right )=1+\frac{x^2}{(1-x)^2}.f\left(\frac{1}{x}-1 \right )$
 $=1+\frac{x^2}{(1-x)^2}.\left[f\left(\frac{1}{x}\right )-1 \right ]=1+\frac{x^2}{(1-x)^2}.\left[\frac{1}{x^2}f(x)-1 \right ]$
$=\frac{1-2x+f(x)}{(1-x)^2} \;(2)$

Từ (1) và (2) ta có $f(x)=x\forall x\neq 1$.
Thử lại:....

 

Latex diễn đàn bị sao ấy :(


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#4
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

 

Môn GIẢI TÍCH

 

Bài 4:

Cho $f,g: \mathbb{R} \to [0;+\infty)$ là các hàm số liên tục thỏa mãn

$$\left| f(x)-x \right| \le g(x)-g(f(x)) \;, \forall x \in \mathbb{R}$$

Chứng minh rằng phương trình $f(x)=x$ có nghiệm.

 

 

Chọn $x_1\in \mathbb{R}$ và đặt $x_{n+1}=f(x_n) \;,n\ge 1$
 
Ta có: $$|f(x_n)-x_n|\le g(x_n)-g(x_{n+1}),\forall n\in \mathbb{N}$$
$$\Rightarrow |x_{n+1}-x_n|\le g(x_n)-g(x_{n+1}),\forall n\in \mathbb{N}$$
 
$\Rightarrow g(x_n)\ge g(x_{n+1})$
Do đó $(g(x_n)_n)$ là một dãy giảm và bị chặn dưới.
Đặt $l =\lim\limits_{n\to \infty} g(x_n)$.
Vì $|x_{n+1}-x_n|\le g(x_n)-g(x_{n+1})$ nên $|x_{n+p}-x_n|\le g(x_n)-g(x_{n+p}),\; \forall n,p\in \mathbb{N}$
 
Từ đó suy ra $(x_n)_n$ là dãy Cauchy.
 
Gọi $a=\lim\limits_{n\to \infty} x_n$. Dễ thấy $f(a)=a$
Vậy phương trình  $f(x)=x$ có nghiệm $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 20-01-2015 - 11:55

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#5
phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết

Bài 3 chắc là không phải dấu = :'( .

 

 

Anh đã sửa, là dấu $\le$ :D


Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh