Chứng minh rằng $\mathbb{Z}[x]$ là không đẳng cấu vành với $\mathbb{Q}[x]$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 26-01-2015 - 14:24
$\mathbb{Z}[x]$ là không đẳng cấu vành với $\mathbb{Q}[x]$
Bắt đầu bởi Equicontinuous, 26-01-2015 - 03:12
#2
Đã gửi 26-01-2015 - 11:46
fghost
-
- Thành viên
-
- 227 Bài viết
Thượng sĩ
Giả sử $\varphi: Z[X] \rightarrow Q[X]$ là 1 đẳng cấu vành. Gọi $I=(X) \subset Z[X]$ và $J= \varphi(I)$. Ta có, $Z \cong Z[X]/I$ nên $Z \cong Q[X]/J$. Ta thấy $Q[X]/J$ vì đẳng cấu vành với $Z$ nên nó là 1 integral domain, nên ideal $J$ phải prime. Nhưng $Q[X]$ là principal ideal domain, nên prime ideal $J$ cũng là maximal ideal. Nên $Q[X]/J$ là 1 trường (field), vô lý vì $Z \cong Q[X]/J$ không phải là 1 trường.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
