Chủ đề này có 22 trả lời

[quangbinng]

Cho em hỏi là tại sao các bài toán hay nói là liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$ mà không phải là khả vi trên $[a,b]$.

 

 

Và hình như là nếu khả vi thì liên tục vậy tại sao ko bỏ luôn cái câu liên tục trên $[a,b]$ ạ?

[Nxb]

Cho em hỏi là tại sao các bài toán hay nói là liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$ mà không phải là khả vi trên $[a,b]$.

 

 

Và hình như là nếu khả vi thì liên tục vậy tại sao ko bỏ luôn cái câu liên tục trên $[a,b]$ ạ?

Anh nghĩ là có thể hiểu thế này: Cho $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và $x \in \mathbb{R}$. Ta định nghĩa đạo hàm của f tại x theo một công thức... Ta nói f khả vi trên A nếu f có đạo hàm tại mọi điểm thuộc A. Trong trường hợp f xác định trên A thôi thì ta hiểu rằng có một hàm g nào đó xác định trên R và g hạn chế trên A bằng f và khi đó ta định nghĩa f khả vi trên A nếu g khả vi trên A(nếu học không gian $\mathbb{R}^n$ thì người ta cũng định nghĩa tương tự thế này). Nhưng như vậy để cho với hàm g nào thì đạo hàm của f cũng không đổi thì A phải mở(em thử chứng minh xem). Vì thế người ta chỉ hay nói tính khả vi của hàm tại một điểm thuộc phần trong của tập xác định. Còn khả vi trên khoảng thì chưa chắc đã liên tục trên đoạn. Ví dụ hàm f=1/x nếu x >0 và f=0 nếu x=0; hàm này thậm chí còn không bị chặn. Em cũng có thể nói đến tính khả vi trên đoạn bằng cách hiểu là khả vi một phía(nhưng trên $\mathbb{R}^n$ thì không đơn giản như vậy nữa vì có vô số cách tiến đến một điểm). Vì thế tốt nhất là ta định nghĩa cho tập mở cho nó lành.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 26-01-2015 - 13:09

[phudinhgioihan]

Cho em hỏi là tại sao các bài toán hay nói là liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$ mà không phải là khả vi trên $[a,b]$.

 

 

Và hình như là nếu khả vi thì liên tục vậy tại sao ko bỏ luôn cái câu liên tục trên $[a,b]$ ạ?

 

Giải thích một cách sơ cấp, định nghĩa đạo hàm tại một điểm $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, như vậy $f^{'}(x)$ tồn tại khi và chỉ khi $\lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

 

Như vậy, nếu $x=a$ hoặc $x=b$ thì ta chỉ có $\lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h},\;\lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(b+h)-f(b)}{h}$ nên không thể nói được gì về tính khả vi tại hai điểm này.

[quangbinng]

Anh nghĩ là có thể hiểu thế này: Cho $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và $x \in \mathbb{R}$. Ta định nghĩa đạo hàm của f tại x theo một công thức... Ta nói f khả vi trên A nếu f có đạo hàm tại mọi điểm thuộc A. Trong trường hợp f xác định trên A thôi thì ta hiểu rằng có một hàm g nào đó xác định trên R và g hạn chế trên A bằng f và khi đó ta định nghĩa f khả vi trên A nếu g khả vi trên A(nếu học không gian $\mathbb{R}^n$ thì người ta cũng định nghĩa tương tự thế này). Nhưng như vậy để cho với hàm g nào thì đạo hàm của f cũng không đổi thì A phải mở(em thử chứng minh xem). Vì thế người ta chỉ hay nói tính khả vi của hàm tại một điểm thuộc phần trong của tập xác định. Còn khả vi trên khoảng thì chưa chắc đã liên tục trên đoạn. Ví dụ hàm f=1/x nếu x >0 và f=0 nếu x=0; hàm này thậm chí còn không bị chặn. Em cũng có thể nói đến tính khả vi trên đoạn bằng cách hiểu là khả vi một phía(nhưng trên $\mathbb{R}^n$ thì không đơn giản như vậy nữa vì có vô số cách tiến đến một điểm). Vì thế tốt nhất là ta định nghĩa cho tập mở cho nó lành.

 

 

có phải là với hàm $g$ nào thì đạo hàm của chúng đều như nhau trên A phải không ạ, vì em thấy f cố định thì đạo hàm phải cố định chứ ạ, A là tập mở thì em nhìn thấy anh phudinhgioihan  ghi biểu thức, sử dụng cái đó phải không ạ, vì không thể nói trước tính khả vi tại các điểm mút ạ?

[Nxb]

có phải là với hàm $g$ nào thì đạo hàm của chúng đều như nhau trên A phải không ạ, vì em thấy f cố định thì đạo hàm phải cố định chứ ạ, A là tập mở thì em nhìn thấy anh phudinhgioihan  ghi biểu thức, sử dụng cái đó phải không ạ, vì không thể nói trước tính khả vi tại các điểm mút ạ?

Nếu tập A mở. Chẳng hạn trên đoạn [a;b] thì nếu thác triển f thành g bên ngoài đoạn [a;b] có những hàm g khác nhau thì sẽ khiến cho g không khả vi tại a. Thực ra mở hay đóng ở đấy cũng tương đối thôi vì sau này tập đóng cũng định nghĩa được đạo hàm. Giờ em hãy cứ hiểu như thế đã cũng được. 

[quangbinng]

Cho em hỏi là nếu như vậy thì: giả sử tại $a$ hoặc $b$ nó hàm số đạt cực trị thì có $f'=0$ không ạ, vì em thấy cái bổ đề fermat nó phải dựa vào 2 bên để suy ra $f'=0$ ạ

[quangbinng]

Cho em hỏi thêm 1 câu nữa:

Nếu cho $f(x)$ khả vi thì ta có phải là luôn có $f(x)=\int_{x_0}^{x} f^{'}(t)dt+f(x_0)$ vì thầy em bảo hàm liên tục thì khả tích, nhưng đề bài cho mỗi $f(x)$ khả vi, chưa cho  $f'(x)$ liên tục, thì có được phép viết ra công thức tích phân như trên không ạ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 27-01-2015 - 14:09

[Nxb]

Chỗ cực trị em hỏi thì a nghĩ là không còn cái công thức tích phân kia thì chỉ cần f khả tích là được chứ không phải liên tục. Một hàm không liên tục thì vẫn khả tích được. Vấn đề ở đây là f phải liên tục trên cả đoạn nhưng lập luận f khả vi chỉ khiến nó liên tục trên khoảng. Không nên hiểu đơn giản là liên tục thì khả tích vì còn phải tùy xem nó liên tục trên đâu nữa. Nhưng công thức ở đây vẫn đúng vì ta chỉ cần liên tục hầu khắp nơi(f chỉ bị gián đoạn tại 2 điểm a;b) nếu như em có thêm điều kiện f bị chặn. Còn anh không nghĩ f' liên quan gì chắc em viết nhầm.

[victory123]

Mọi người giải thích cho em cái này với ạ!
"Nếu hàm f liên tục tại điểm a thì f khả vi tại điểm đó."
Tại sao phát biểu này lại sai ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi victory123: 17-12-2015 - 22:31

[An Infinitesimal]

Mọi người giải thích cho em cái này với ạ!
"Nếu hàm f liên tục tại điểm a thì f khả vi tại điểm đó."
Tại sao phát biểu này lại sai ạ?

 

Một thí dụ kinh điển: Xét $f(x)=|x|, a=0$, khi đó $f$ liên tục tại $a=0$ nhưng không khả vi tại đó.

(Bạn có thể tự kiểm tra!)

[An Infinitesimal]

Cho em hỏi là nếu như vậy thì: giả sử tại $a$ hoặc $b$ nó hàm số đạt cực trị thì có $f'=0$ không ạ, vì em thấy cái bổ đề fermat nó phải dựa vào 2 bên để suy ra $f'=0$ ạ

 

Mình lấy phát biểu từ wiki:

 

Let $f\colon (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ be a function and suppose that $\displaystyle x_0 \in (a,b)$ is a local extremum of $\displaystyle f$. If $\displaystyle f$ is differentiable at $\displaystyle x_0$, then $\displaystyle f'(x_0) = 0$.

 

Và thêm một thí dụ: $f(x)= x, x\in [0,1]$ đạt cực tiểu tại $0$ nhưng $f'_{+}(0)\neq 0$. 

[diendo96]

Cho ví dụ về f liên tục đều (a,b) f có đạo hàm nhưng f´ không bị chặn?? Giải thích?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi diendo96: 18-12-2015 - 17:47

[An Infinitesimal]

Cho ví dụ về f liên tục đều (a,b) f có đạo hàm nhưng f´ không bị chặn?? Giải thích?

Dùng "sự kiện" $g(x)= \frac{1}{x^{\alpha}}$  với $\alpha>0$ không bị chặn trên $(0,1)$ để chọn $f$.

 

Lấy $f(x)=2\sqrt{x}, x\in (0,1)$ liên tục đều và có  $f'(x)$ không bị chặn. 

[victory123]

Một thí dụ kinh điển: Xét $f(x)=|x|, a=0$, khi đó $f$ liên tục tại $a=0$ nhưng không khả vi tại đó.
(Bạn có thể tự kiểm tra!)

Em đang muốn hói về phương pháp tổng quát để chứng minh nó ý ạ! Nếu đưa ra counterexample luôn, liệu ổn k ạ???

[An Infinitesimal]

 

 

Em đang muốn hói về phương pháp tổng quát để chứng minh nó ý ạ! Nếu đưa ra counterexample luôn, liệu ổn k ạ???

 

Em không đưa ra mệnh đề nên không thể chứng minh! Phát biểu bên dưới không phải mệnh đề/ định lý. Có trường hợp đúng, có trường hợp sai!

 

Mọi người giải thích cho em cái này với ạ!
"Nếu hàm f liên tục tại điểm a thì f khả vi tại điểm đó."
Tại sao phát biểu này lại sai ạ?

 

[diendo96]

giả sử f và g có đạo hàm trên (a,b) với f(c)=g(c) c thuộc (a,b). nếu f'(x)<=g'(x) cho x thuộc [c,b), cmr f(x)<=g(x)cho x thuộc [c,b). điều ngược lại có đúng hay không , giải thich?

[diendo96]

giả sử hàm f có đạo hàm trên (a,b) và f' bị chặn trên (a,b) . cmr f liên tục đều

[An Infinitesimal]

giả sử f và g có đạo hàm trên (a,b) với f(c)=g(c) c thuộc (a,b). nếu f'(x)<=g'(x) cho x thuộc [c,b), cmr f(x)<=g(x)cho x thuộc [c,b). điều ngược lại có đúng hay không , giải thich?

Bạn thử nghiệm với hai hàm sau $f(x)=x^2+2015, g(x)=x^2$.

[An Infinitesimal]

giả sử hàm f có đạo hàm trên (a,b) và f' bị chặn trên (a,b) . cmr f liên tục đều

Dùng định lý Lagrange để suy ra tồn tại số thực $M$ sao cho

$$|f(x)-f(y)|\le M|x-y| \forall x, y \in (a,b).$$

Do đó f liên tục đều.

[diendo96]

Bạn thử nghiệm với hai hàm sau $f(x)=x^2+2015, g(x)=x^2$.

giải rỏ giúp em đc k ad