Đề ĐẠI SỐ
Bài 1:
Cho $A,B$ là hai ma trận vuông thực cấp $n \in \mathbb{N}^*$. Giả sử tồn tại $n+1$ số thực phân biệt $t_1,...,t_{n+1}$ sao cho
$C_i=A+t_iB,\;i=1,...,n+1$ là lũy linh. Hãy chứng minh rằng $A,B$ là các ma trận lũy linh.
Bài 2:
Cho $a_0$ và $d$ là các số thực.Với $j=0,...,n$, đặt $a_j=a_0+jd$. Cho
$$A=\begin{pmatrix}a_0 &a_1 &a_2 &\cdots &a_n \\a_1 &a_0 &a_2 &\cdots & a_{n-1}\\ a_2 &a_1 &a_0 &\cdots &a_{n-2} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_n &a_{n-1} &a_{n-2} &\cdots &a_0 \end{pmatrix}$$
Hãy tính định thức của $A$ theo $a_0,d,n$
Bài 3:
Cho $A$ là ma trận thực vuông cấp $n \in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn $A^3=A+I_n$ với $I_n$ là ma trận đơn vị cấp $n$. Chứng minh rằng $\det A>0$
Bài 4:
Tìm tất cả ma trận thực vuông $A$ cấp $2$ sao cho $A^2=I_2$ với $I_2$ là ma trận đơn vị cấp 2.
Bài 5:
Cho bất phương trình
$$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}>2015$$
Hãy tìm tổng độ dài các khoảng nghiệm trên trục số.
Bài 6:
Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n\in \mathbb{N}^*$ với các hệ số thực và chỉ có nghiệm thực. Chứng minh rằng
$$(n-1)\left(P^{'}(x) \right)^2 \ge nP(x)P^{''}(x)$$
Đề GIẢI TÍCH
Bài 1:
Cho hai số thực dương $a$ và $a_1$. Định nghĩa dãy $(a_n)_{n \ge 1}$ bới
$$a_{n+1}=a_n(2-aa_n) ,\; \forall n \in \mathbb{N}^*$$
Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của $(a_n)_{n \ge 1}$
Bài 2:
Cho $f:[0;1] \to \mathbb{R}$ là hàm thỏa mãn $f(0)<0,\; f(1)>0$ . Giả sử tồn tại hàm liên tục $g$ trên $[0;1]$ sao cho hàm $f+g$ giảm trên $[0;1]$. Chứng minh rằng phương trình $f(x)=0$ có nghiệm trong $(0;1)$.
Bài 3:
Tìm tất cả các hàm liên tục $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(xf(y))=yf(x), \;\; \forall x,y \in \mathbb{R}$$
Bài 4:
Giả sử $f:[a;b] \to \mathbb{R}\;,\; b-a\ge 4$ là hảm khả vi trên $(a;b)$. Chứng minh tồn tại $x_0\in (a;b)$ sao cho
$$f^{'}(x_0)<1+f^2(x_0)$$
Bài 5:
Giả sử $f:[-1;1] \to \mathbb{R}$ là hàm khả vi đến cấp 3 và biết rằng $f(-1)=f(0)=f^{'}(0)=0,f(1)=1$. Chứng minh rằng tồn tại $c \in (-1;1)$ sao cho $f^{'''}( c ) \ge 3 $
Bài 6:
Giả sử $\Re=\{ f\in C^2[0;1]:\; f(0)=f(1)=0, f^{'}(0)=a \}$
Tìm $\min_{f \in \Re} \int_0^1 \left( f^{''}(x) \right)^2 dx $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 26-01-2015 - 15:50