Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+9\frac{\sqrt{ab+bc+ac}}{a+

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
raquaza

raquaza

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

cho 3 số thực a,b,c không âm sao cho tổng 2 số bất kì lớn hơn 0. Chứng minh rằng

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+9\frac{\sqrt{ab+bc+ac}}{a+b+c}\geq 6$



#2
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

 dbài toán quen thuộc
dồn biến về 1 số bằng 0
giả sử a>=b>=c 
cm f(a;b;c)>=f(a;b;0)
sau đó xét hàm 
chú ý sigma (căn (a/(b+c))>= căn (a/b)+căn (b/a) cái này rất đơn giản trong sách a cẩn có nhiều , bạn tự tham khảo hoặc tư chứng minh



#3
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết
Giả sử $a=\max \{a;b;c\}$
Ta cm:
$\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge \sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$
Thật vậy áp dụng Holder có:
$VT^2.[b^2(c+a)+c^2(a+b)]\ge (b+c)^3$
Cần cm: $a(b+c)^2\ge b^2(c+a)+c^2(a+b)\Leftrightarrow bc(2a-b-c)\ge 0$ (Luôn đúng)
 
$\Rightarrow \sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$
 
 
Tiếp theo $9\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{a+b+c}}\ge \dfrac{9\sqrt{a(b+c)}}{a+b+c}$
 
Ta cần cm $f(t)=t+\dfrac{9}{\sqrt{t+2}}\ge 6$
Trong đó $t=\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}\ge 2$
 
 
Làm thế được không anh cachuoi Tuấn Anh :D


#4
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

 

Giả sử $a=\max \{a;b;c\}$
Ta cm:
$\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge \sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$
Thật vậy áp dụng Holder có:
$VT^2.[b^2(c+a)+c^2(a+b)]\ge (b+c)^3$
Cần cm: $a(b+c)^2\ge b^2(c+a)+c^2(a+b)\Leftrightarrow bc(2a-b-c)\ge 0$ (Luôn đúng)
 
$\Rightarrow \sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$
 
 
Tiếp theo $9\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{a+b+c}}\ge \dfrac{9\sqrt{a(b+c)}}{a+b+c}$
 
Ta cần cm $f(t)=t+\dfrac{9}{\sqrt{t+2}}\ge 6$
Trong đó $t=\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}\ge 2$
 
 
Làm thế được không anh cachuoi Tuấn Anh :D

 

sao biết là a thế ?làm vậy ổn rồi   :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cachuoi: 29-01-2015 - 21:51





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh