Chủ đề này có 9 trả lời

[NangLuong]

Thursday, 05 August 2004 - unknown author

Carl Friedrich Gauss(1777-1855)

Ông là người Đức , con 1 người thợ nghèo, nhưng từ năm lên 3 tuổi đã bộc lộ thiên tài toán học đặc biệt nên được Quận công vùng BRUNSWICK nuôi ăn học .Cnagf lớn lên ông càng thể hiện năng khiếu toán học dị thường .Ông đỗ tiến sĩ năm 22 tuổi do đưa ra 1 chứng minh lỗi lạc về Lí thuyết phương trình .Ông không thích làm Giáo sư Đại học àm nhận chức Giám đốc Đài thiên văn của GOTTINGGENnăm 1807.Ông có cáh giải độc đáo phương trình x^2^n+1=1 khi 2^n+1 là số nguyên tố .
Từ đó ông đưa ra ý kiến khẳng định dựng 1 đa giác đều 2^n+1 cạnh nội tiếp trong hình tròn nếu 2^n+1là số nguyên tố;, với n=4 thì đa giác đều 17 cạnh và ngày nay mọi người hết lời ca ngợi!!Về giải tich toán hcọ ông đóng góp nhiều vào phép tính biến thiên .Ông nhận được nhiều giải thưởng của viện hàn lâm.Ông là nhà táon học rất say mê tính toán cụ thể .GAUSS đã công bố nhiều công trình về tính toán như "Luật sác xuất của sai số""Sai số ngẫu nhiên";"Sai số trung bình tuyệt đối".... là những công trình mà ngày nay ta dùng trong đo lường chính xác .Ngoài ra ông còn đóng góp nhiều công trình nghiên cưú về hiện tượng mao dẫn , qui luật đường đi cảu ánh sáng qua 1 hệ thấu kính dày.
Toàn bộ tác phẩm của ông được xuất bản thành7 tập kéo dài từ năm 1863 đến năm 1871; về sau có bổ sung thêm những công trình mà sinh thời ông chưa kịp công bố.

[Doraemon]

Ông còn là tác giả của phương pháp "bình phương tối thiểu" nổi tiếng. Ý tưởng thật đơn giản nhưng ứng dụng thật lớn cho xác suất, giải tích, ...
ngoài ra ông còn là một nhà trắc địa học và là nhà thiên văn học. Chỉ bằng ngòi bút chì, ông đã chỉ ra được vị trí của hành tinh Ferrera mà các nhà thiên văn bị lạc mất; sau đó, các nhà thiên văn đã chĩa ống kích vào đấy- vị trí ông đã chỉ, và thấy nó, cả thế giới khâm phục.
Gauss còn là một người nắm tường tận lý thuyết giải tích phức nhưng ông không công bố nhiều mà những định lí sau này đã trở thành tên tuổi của những người đi sau. Lý thuyết về đường song song đã được tìm thấy ở dạng bạn thảo mà ông không công bố trước cả Lobasepski và Bolyai. Định lý về đa giác đều 17 cạnh là định ông thích nhất và di chúc cho hậu thế khắc lên mộ, vì sao? Vào năm 19 tuổi đã có khủng hoảng trong sự nghiệp của ông, ông sẽ phải lựa chọn toán học hay triết học và định lý đa giác đều 17 cạnh đã làm ông quyết định theo đuổi toán học suốt đời. Đúng là vua toán học.
Thật may cho chúng ta, nếu ông theo triết học thì sẽ có 1 nhà triết học xuất sắc nhưng sẽ thiếu đi 1 nhà toán học vĩ đại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon: 14-02-2005 - 21:21

[mamax12]

Gauss sinh ra trong một gia đình người sửa ống nước kiêm nghề làm vườn vào mùa xuân năm 1777. Người ta còn kể mãi một câu chuyện về thời thơ ấu của ông như sau: Cha của Gauss thường nhận thầu khoán công việc để cải thiện đời sống. Ông hay thanh toán tiền nong vào chiều thứ bảy. Lần ấy, ông vừa đọc xong bảng thanh toán thì từ phía giường trẻ có tiếng của Gauss gọi:

-Cha ơi, cha tính sai rồi, phải thế này mới đúng…

Mọi người không tin, nhưng khi kiểm tra lại thì quả là Gauss đã tính đúng. Khi ấy, Gauss mới tròn 3 tuổi. Có thể nói, Gauss đã học tính trước khi học nói.

Những ngày đầu đến trường, Gauss không có gì đặc biệt so với các trò khác. Nhưng tình hình thay đổi hẳn khi nhà trường bắt đầu dạy môn số học. Một lần, thầy giáo ra cho lớp bài toán tính tổng tất cả các số nguyên từ 1 – 100. Khi thầy vừa đọc và phân tích đầu bài thì Gauss đã lên tiếng:

Thưa thầy, em giải xong rồi!

Thầy giáo không hề để ý đến Gauss, dạo quanh các bàn và nói chế nhạo:

Carl, chắc em sai rồi đấy, không thể giải quá nhanh một bài toán khó như vậy đâu!

Thầy tha lỗi cho em, em giải rất đúng ạ! Em nhận thấy ở dãy số này có các tổng hai số của từng cặp số đứng cách đều phía đầu và phía cuối của dãy số đều bằng nhau: 100 + 1 = 99 + 2 = 98 + 3 =… 50 = 51 = 101. Có 50 tổng như vậy nên kết quả sẽ là 1 = 2 = 3= … = 101 * 50 = 5050.

Thầy giáo hết sức ngạc nhiên khi thấy Gauss giải bài toán một cách chính xác tuyệt đối, mà cách giải lại vô cùng độc đáo. Từ đó,Gauss được mọi người biết đến như một thiên tài toán học.

Ngay trong những năm đầu tiên ở trường Đại học Tổng hợp Gottinghen, Gauss đã đưa ra cách dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước kẻ và compa. Đây là một phát hiện rất quan trọng, nên về sau người ta đã theo di chúc của ông mà khắc trên mộ ông đa giác đều 17 cạnh nội tiếp trong một đường tròn.

Sau này, nhờ có nghệ thuật tính toán mà Gauss đã phát hiện một hành tinh mới. Vào đầu thế kỷ XIX, một nhà thiên văn học người Italia đã phát hiện ra hành tinh mới gọi là Xexera. Ông quan sát được nó không lâu, sau đó nó dịch lại gần mặt trời và bị lẫn vào những tia sáng mặt trời. Những thí nghiệm của các nhà thiên văn đều không đạt kết quả nữa, họ không nhìn thấy được nó ở chỗ mà theo dự đoán nó phải hành trình đến. Các kính viễn vọng đều bất lực. Nhưng Gauss, với những số liệu quan sát ban đầu, ông đã tính được quỹ đạo của hành tinh mới đó và chỉ ra vị trí của nó với độ chính xác cao. Nhờ thế, các nhà thiên văn đã tìm thấy Xexera. Về sau, theo cách này, người ta đã tìm ra nhiều hành tinh mới khác. Sau công trình thiên văn kiệt xuất đó, Gauss được xem như một nhà toán học vĩ đại của thế giới và được tôn là ìÔng hoàng toán học”.

C. F. Gauss thọ 78 tuổi, và cả cuộc đời ông là những cống hiến vĩ đại cho ngành toán học của nhân loại. Cho đến tận ngày nay, câu chuyện về khả năng tính toán thiên bẩm của Gauss vẫn còn được kể như là những huyền thoại.

[bachocnhi]

Em bổ sung thêm nè.
Carl Friedrich Gauß
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Carl Friedrich Gauß

Carl Friedrich Gauß (được viết phổ biến hơn với tên Carl Friedrich Gauss; 30 tháng 4, 1777 – 23 tháng 2, 1855) là một nhà toán học và nhà khoa học người Đức tài năng, người đã có nhiều đóng góp lớn cho các lĩnh vực khoa học, như lý thuyết số, giải tích, hình học vi phân, khoa trắc địa, từ học, thiên văn học và quang học. Được mệnh danh là "hoàng tử của các nhà toán học", với ảnh hưởng sâu sắc cho sự phát triển của toán học và khoa học, Gauss được xếp ngang hàng cùng Leonhard Euler, Isaac Newton và Archimedes như là những nhà toán học vĩ đại nhất của lịch sử.

Từ lúc nhỏ tuổi, Gauss đã thể hiện mình là một thần đồng, để lại nhiều giai thoại, trong đó có nhắc đến những phát kiến đột phá về toán học ngay ở tuổi thiếu niên. Ông đã hoàn thành quyển Disquisitiones Arithmeticae, vào năm 24 tuổi. Công trình này đã tổng kết lý thuyết số và hình thành lĩnh vực nghiên cứu này như một ngành toán học mà ta thấy ngày nay.Tiểu sử

[sửa] Thời tuổi trẻ

Gauss được sinh ra tại Braunschweig, thuộc Brunswick-Lüneburg (nay là Hạ Saxony, Đức), con trai duy nhất của một cặp vợ chồng thuộc tầng lớp thấp trong xã hội. Theo giai thoại kể lại, tài năng bẩm sinh của Gauss được phát hiện khi ông mới lên ba, qua việc ông sửa lại lỗi của cha trong tính toán tài chính. Một câu chuyện khác kể rằng khi ông học tiểu học, thầy giáo yêu cầu học sinh tính cộng các số nguyên từ 1 đến 100. Gauss đã trả lời đúng chỉ trong vài giây bằng một cách giải nhanh và độc đáo. Ông nhận thấy việc cộng hai số ở đầu và cuối dãy tạo ra kết quả trung gian giống nhau: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, và kết quả tổng cộng là 50 × 101 = 5050. Câu chuyện này có nhiều khả năng là chuyện có thật, mặc dù bài toán mà thầy giáo của Gauss đã ra có thể khó hơn như vậy. [1]

Từ năm 1792 đến 1795, Gauss được nhận học bổng của Karl Wilhelm Ferdinand (công tước trong vùng) để vào trường trung học Collegium Carolinum. Từ năm 1795 đến 1798 ông học ở Đại học Göttingen. Trong trường trung học, Gauss khám phá ra một số định lý toán học quan trọng một cách độc lập; năm 1796, Gauss đã có đột phá toán học đầu tiên khi ông chứng minh rằng mọi đa giác đều với số cạnh bằng số nguyên tố Fermat (và, do đó, mọi đa giác đều với số cạnh bằng tích của các số nguyên tố Fermat khác nhau và lũy thừa của 2) đều có thể dựng được bằng compa và thước kẻ. Đây là một khám phá quan trọng trong ngành dựng hình, một bài toán đã làm đau đầu nhiều nhà toán học từ thời Hy Lạp cổ đại. Gauss đã thích thú với kết quả này đến nỗi ông đã yêu cầu khắc lên mộ mình sau này một hình thất thập giác đều. Tuy nhiên người xây mộ đã từ chối, nói rằng khó khăn kỹ thuật sẽ làm cho hình với số cạnh nhiều như vậy trông giống một hình tròn.

Năm 1796 có lẽ là năm chứng kiến nhiều phát kiến của Gauss nhất, chủ yếu cho ngành lý thuyết số. Vào 30 tháng 3 năm đó, ông tìm thấy cách dựng hình thất thập giác. Ông đã tìm ra số học modula, một khám phá giúp cho việc giải toán trong lý thuyết số được đơn giản hóa đi nhiều. Công thức nghịch đảo toàn phương của ông được tìm thấy ngày 8 tháng 4. Định luật khá tổng quát này cho phép các nhà toán học xác định khả năng giải được cho các phương trình bậc hai trong số học modula. Định lý số nguyên tố được Gauss phát biểu ngày 31 tháng 5, cho một cách hiểu thấu đáo về cách sô nguyên tố được phân bố trong dãy số nguyên. Ngày 10 tháng 7, Gauss đã tìm thấy rằng bất cứ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn bằng tổng của tối đa là ba số tam giác; ông đã sung sướng viết trong sổ tay của mình "Heureka! num= Δ + Δ + Δ." Ngày 1 tháng 10, ông cho xuất bản một kết quả về các nghiệm của các đa thức với hệ số trong trường vô hạn, một kết quả đã dẫn đến phát biểu Weil 150 năm sau.

[sửa] Thời trung niên
Bìa quyển sách Disquistiones Arithmeticae
Phóng lớn
Bìa quyển sách Disquistiones Arithmeticae

Trong luận văn của ông năm 1799, Gauss đã trở thành người đầu tiên chứng minh định lý cơ bản của đại số. Định lý này nói rằng bất cứ một đa thức trên trường số phức nào cũng đều có ít nhất một nghiệm. Các nhà toán học trước Gauss mới chỉ giả thiết rằng định lý đó là đúng. Gauss đã chứng sự đúng đắn của định lý này một cách chặt chẽ. Trong cuộc đời của mình, ông đã viết ra tới bốn cách chứng minh hoàn toàn khác nhau cho định lý trên, làm sáng tỏ ý nghĩa của số phức.

Năm 1801, Gauss tiếp tục có nhiều cống hiến trong lý thuyết số, tổng kết lại trong quyển Disquisitiones Arithmeticae, một công trình chứa đựng miêu tả gọn gàng về số học modula và cách chứng minh thứ nhất của công thức nghịch đảo toàn phương. Cùng năm này, nhà thiên văn Ý Giuseppe Piazzi tìm thấy thiên thể Ceres, nhưng chỉ kịp thấy nó trong vài tháng. Gauss đã tiên đoán chính xác vị trí mà thiên thể này sẽ được tìm lại, và tiên đoán này được khẳng định bởi quan sát của Franz Xaver von Zach ở thị trấn Gotha vào ngày 31 tháng 12, 1801, và bởi Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers ở Bremen một ngày sau đó. Zach đã ghi lại "nếu không có công trình trí tuệ và tính toán của tiến sĩ Gauss chúng ta đã có thể không tìm lại Ceres được nữa." Vào thời điểm này Gauss tuy vẫn nhận lương của Công tước, ông bắt đầu cảm thấy ngành toán học cơ bản có thể không đảm bảo đủ thu nhập. Ông đã tìm việc trong ngành thiên văn học, và vào năm 1807 được giữ cương vị Giáo sư Thiên văn và Giám đốc đài thiên văn ở Göttingen. Ông đã làm việc với chức vị này trong suốt phần còn lại của cuộc đời.

Sự khám phá ra Ceres của Giuseppe Piazzi ngày 1 tháng 1 năm 1801 đã giúp Gauss chuyển hướng nghiên cứu sang lý thuyết về chuyển động của các tiểu hành tinh, bị nhiễu loạn bởi các hành tinh lớn hơn. Các công trình của ông trong lĩnh vực này đã được xuất bản năm 1809 dưới tên Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (lý thuyết về chuyển động của các thiên thể trong quỹ đạo mặt cắt hình nón quanh Mặt Trời). Piazzi chỉ quan sát được Ceres trong vài tháng, khi thiên thể này di chuyển khoảng vài độ trên bầu trời. Sau đó thiên thể này chói lòa bởi ánh sáng Mặt Trời. Vài tháng sau, khi Ceres đã ló ra khỏi vùng ảnh hưởng của ánh sáng Mặt Trời, Piazzi đã không tìm thấy nó: các công cụ toán học thời đó không đủ chính xác để giúp ông tiên đoán trước vị trí thiên thể này từ các dữ liệu ít ỏi đã quan sát được – 1% của toàn bộ quỹ đạo.

Gauss, lúc đó ở tuổi 23, đã được nghe về bài toán này và lập tức giải quyết nó. Sau ba tháng làm việc miệt mài, ông đã tiên đoán vị trí của Ceres vào tháng 12 năm 1801 – khoảng 1 năm sau khi thiên thể này được nhìn thấy lần đầu – và tính toán này đã được kiểm chứng lại cho thấy sai số nhỏ hơn nửa độ. Các công trình của ông đã trở thành công cụ tính toán quan trọng cho thiên văn học thời này. Ông đã giới thiệu hằng số hấp dẫn Gauss và hoàn chỉnh phương pháp bình phương tối thiểu, một phương pháp dùng cho hầu như một ngành khoa học ngày nay khi giảm thiểu sai số đo. Gauss đã chứng minh chặt chẽ giả định về sai số theo phân bố Gauss (xem định lý Gauss-Markov). Phương pháp này đã được Adrien-Marie Legendre dùng vào năm 1805, nhưng Gauss nói ông đã dùng nó từ năm 1795.

Cuối thập niên 1810, Gauss được mời thực hiện các nghiện cứu trắc địa cho bang Hannover để liên kết với mạng lưới Đan Mạch. Gauss vui lòng chấp nhận và tham gia, đo đạc vào ban ngày và xử lý kết quả vào ban đêm, sử dụng khả năng tính toán phi thường của ông. Ông thường viết cho Heinrich Christian Schumacher, Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers và Friedrich Bessel, nói về tiến trình đo đạc và các vấn đề. Trong cuộc điều tra trắc địa này, Gauss đã phát minh máy heliotrope (?) sử dụng hệ thống gương để phản chiếu ánh sáng Mặt Trời vào kính viễn vọng phục vụ đo đạc chính xác.

Gauss cũng đã tuyên bố khám phá ra hình học phi Euclide nhưng ông chưa bao giờ xuất bản các công trình về vấn đề này. Khám phá này đã là một cuộc cách mạng trong tư duy toán học đương thời, giải phóng các nhà toán học khỏi giả thuyết rằng các tiên đề Euclide là cách duy nhất để xây dựng hình học không tự mâu thuẫn. Các nghiên cứu về hình học này, cùng với các ý tưởng khác, đã dẫn đến lý thuyết tương đối rộng của Albert Einstein, miêu tả vũ trụ trong hình học phi Euclide. Farkas Bolyai, một bạn của Gauss, người mà Gauss đã thề làm "anh em kết nghĩa" khi còn là sinh viên, đã thử chứng minh định đề song song từ các tiên đề Euclide mà không thành công. Con trai của Bolyai, Janos Bolyai, khám phá ra hình học phi Euclide năm 1829 và xuất bản công trình này năm 1832. Sau khi nhìn thấy xuất bản của Janos Bolyai, Gauss đã viết cho Farkas Bolyai: "Nếu khen công trình này thì tức là tự khen tôi. Toàn bộ nó ... trùng hoàn toàn với những gì tôi nghĩ trong suốt ba mươi đến ba mươi nhăm năm qua." Câu nói khó kiểm chứng này đã gây căng thẳng trong quan hệ với János Bolyai (người đã nghĩ rằng Gauss đã "ăn cắp" ý tưởng của ông).
Phân bố Gauss trong thống kê
Phóng lớn
Phân bố Gauss trong thống kê

Cuộc thăm dò địa trắc ở Hannover đã dẫn Gauss đến khám phá ra phân bố Gaussian dùng trong miêu tả sai số phép đo. Nó cũng dẫn ông đến một lĩnh vực mới là hình học vi phân, một phân ngành toán học làm việc với các đường cong và bề mặt. Ông đã tìm thấy một định lý quan trọng cho ngành này, theorema egregrium xây dựng một tính chất quan trọng cho khái niệm về độ cong. Một cách nôm na, định lý nói rằng độ cong của một bề mặt có thể được đo hoàn toàn bởi góc và khoảng cách trên bề mặt đó; nghĩa là, độ cong hoàn toàn không phụ thuộc vào việc bề mặt trông như thế nào trong không gian (ba chiều) bao quanh.

[dtdong91]

các bạn có thể tham khảo thêm ở đấy
http://library.think...life/gauss.html

[phung khac bac linh]

mình thần tượng gauss. các bạn nghĩ gì về "ông vua Toán học" đó.

[terenceTAO]

ông ấy tuy là vua toán học nhưng mình đánh giá galois cao hơn
nếu galois ko chết sớm và bị xã hội vùi dập thì có thể hơn hơn gass ấy chứ

[novae]

lúc Lobachevski công bố công trình hình học phi Euclid của mình thì Gauss lại không lên tiếng ủng hộ mặc dù có nghiên cứu, nếu Gaus ủng hộ thì với danh tiếng của "ông vua toán học" thì hình học phi Euclid có thể được mọi người chấp nhận ngay, không phải đợi đến công trình của Eugenio Bentrami 50 năm sau

[phung khac bac linh]

lúc Lobachevski công bố công trình hình học phi Euclid của mình thì Gauss lại không lên tiếng ủng hộ mặc dù có nghiên cứu, nếu Gaus ủng hộ thì với danh tiếng của "ông vua toán học" thì hình học phi Euclid có thể được mọi người chấp nhận ngay, không phải đợi đến công trình của Eugenio Bentrami 50 năm sau

Sở dĩ Gauss không lên tiếng ủng hộ là vì khi đó có quá nhiều người biết tới và sử dụng hình học Euclide, nếu ủng hộ và công bố hình học phi Euclide thì Gauss sợ rằng mọi người sẽ không công nhận và cho rằng ông bị điên.

[Crystal]

Carl Friedrich Gauss - Ông vua toán học

Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Là con trai của một người thợ thủ công người Đức, nhưng Carl GAUSS từ bé cảm thấy gần gũi hơn với người mẹ thương yêu là bà Dorothea BENZE và GAUSS cho rằng mình thừa hưởng trí thông minh từ người mẹ đáng kính này. Thiên tài của GAUSS thể hiện từ lúc nhỏ. Người ta nói rằng lúc mới lên 3 tuổi, GAUSS đã biết cha mình tính toán sai, và ông đã từng nói đùa rằng: ìTôi học tính trước khi học nói”. Một hôm, ông giáo trường làng bắt học trò làm phép tính cộng các số từ 1,2,3,… đến 100. Trong khi các bạn trong lớp loay hoay làm tính cộng thì chỉ mấy giây đồng hồ, cậu bé Carl đã có đáp số. Thầy giáo ngạc nhiên, và cậu bé Carl giải thích 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … =50 + 51 nên kết quả là 50.101 = 50500, lúc này Carl mới 10 tuổi. Chính vì là một đứa bé có thiên tư đặc biệt như vậy nên năm 15 tuổi đã nhận Quận công vùng Brunswick cho học bổng ăn học ở trường Trung học Collegium Carolinum là trường vừa mới mở dành cho những học sinh có năng khiếu đặc biệt. Ba năm sau, GAUSS được vào Đại học Gottingen, và bắt đầu nổi tiếng nhờ những sáng tạo Khoa học đầu tiên.

Năm 1798, GAUSS trở về Brunswick và 3 năm sau (1801) ông cho ra đời tác phẩm Disquisitiones arithmetica.

Những ngày đầu của thế kỷ XIX, các nhà Thiên văn đã phát hiện một hành tinh nhỏ, đặt tên là CÉRÈS. Hành tinh này ở giữa các quỹ đạo của Sao Hoả và Sao Mộc. Nhưng sau đó thì các nhà Thiên Văn không tìm thấy CÉRÈS nữa, dùng kính viễn vọng cũng vô ích. GAUSS bèn dùng một phương pháp Toán học mới, dựa trên Lý thuyết các bình phương nhỏ nhất để xác định quỹ đạo của hành tinh nhỏ CÉRÈS. Cuối năm 1801 người ta lại tìm thấy hành tinh nhỏ này đúng y chỗ mà GAUSS đã tính toán, ta thấy GAUSS tài giỏi biết là dường nào. Bằng thành tích này GAUSS đã mở ra một con đường mới trong tính toán Thiên văn: phương pháp tiếp cận bằng Toán học trong Thiên văn. Tên tuổi ông bắt đầu vang dội. Nhưng năm 1805 ông yêu đương mãnh liệt và bị một cú sốc nặng vì thất tình. Ông chán ghét nghề dạy học. Ông nghĩ một cách sai lầm rằng ông không có gì để học tập các nhà Toán học khác và cho rằng những công trình sáng tạo Toán học của ông như những ánh xạ bảo giác, độ cong của một mặt không đáng giá gì so với những sáng tạo, tìm tòi của ông về Thiên văn-Trắc địa, vì vậy ông nhận lời vội vàng làm Giám đốc đài Thiên văn Gottingen năm 1807. Năm 1809, một tai hoạ giáng xuống gia đình ông: vợ ông, bà Johanna từ trần. Lần cưới vợ thứ hai là một gánh nặng đối với ông, ông trở nên thô bạo với các con. Quay về với Trắc địa, ông bỏ rơi Toán học, chú ý đến Thiên văn. Nhưng ông đã có bạn tâm giao mới là Wilhelm WEBER đã mời GAUSS cùng nghiên cứu với mình đặt cơ sở cho Lý thuyết Từ học. Nhưng sự hợp tác khoa học này không lâu vì năm 1837 WEBER đã từ chối phục vụ chế độ mới, thế là hai nhà Khoa học phải chia tay. Tuy vậy GAUSS cũng đạt được nhiều kết quả trong Vật lý như bài toán về mao dẫn, tinh thể học… Tuy không trực tiếp giảng dạy nhiều ở Đại học, nhưng GAUSS về cuối đời vẫn đào tạo nhiều nhà Toán học giỏi như EISENSTEIN, RIEMANN và DEDEKIND.

Ông được mệnh danh là Ông hoàng của Toán học (Vua Toán học) hay Hoàng tử Toán học. Tuy nói ông ìbỏ rơi” Toán học nhưng hậu thế vẫn tôn vinh ông là nhà Toán học lỗi lạc của thế kỷ, một trong những nhà Toán học vĩ đại của mọi thời đại, và ở ngành Toán học nào cũng có dấu ấn đậm của ông. Người ta kể lại rằng năm GAUSS 18-19 tuổi chuẩn bị vào Đại học, đang phân vân không biết chọn ngành Triết hay ngành Toán thì một sự kiện đã tạo nên bước ngoặc trong đời của nhà Toán học vĩ đại tương lai này: với 80 trang giấy nháp, GAUSS đã giải quyết hết sức đẹp bài toán dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước và compass. Từ thời cổ đại, bài toán này đã được đặt ra nhưng GAUSS là người đầu tiên đã giải quyết đẹp, trọn vẹn. Cơ sở lý luận của bài toán này đã được GAUSS trình bày trong Disquisitiones arithmetica. Ông nghiên cứu biểu thức xp – 1 và p là một số nguyên tố. Ông chứng tỏ rằng những nghiệm của biểu thức này được diễn tả từ một loạt phương trình có hệ số hữu tỷ mà bậc là những ước nguyên tố của p – 1. Điều này báo trước những kết quả của GALOIS, và GAUSS đã chứng minh rằng một đa giác đều n cạnh dựng được nếu và chỉ nếu n = 2m.p1…pk trong đó m là một số nguyên tự nhiên và p1…pk là những số FERMAT. Vì vậy đa giác đều 257 cạnh hay đa giác dều 65537 cạnh đều dựng được bằng thước và compass.

Đầu đề của Luận án mà GAUSS bảo vệ năm 1799 là một chứng minh của định lý cơ bản của Đại số học: Mọi đa thức không phải là hằng, có hệ số thực, đều có thể thừa số hóa thành tích của những đa thức bậc 1 hoặc bậc 2 với hệ số thực (điều này có nghĩa là mọi đa thức không phải là hằng với hệ số thực đều thừa nhận ít nhất một nghiệm trong trường số phức). GAUSS cũng nhận xét rằng những chứng minh của D’ALEMBERT, EULER và LAGRANGE là chưa đầy đủ hoặc sai. Trong chứng minh của mình năm 1799, GAUSS đưa ra cách biểu diễn trong mặt phẳng các số phức và đề nghị một cách tiến hành dựa vào hình học. GAUSS đưa ra hai cách chứng minh mới của định lý cơ bản của Đại số học, một vào năm 1816 và một cách cuối cùng vào năm 1850. Để nghiên cứu tính chia hết, GAUSS đưa ra khái niệm hợp thức (đồng dư thức – congruence) mà chúng ta đều đã biết: ta nói các số nguyên b và c là hợp thức suất a (hay b và c đồng dư theo mod a) khi a chia hết cho (b – c), ta ký hiệu b ≡ c (mod a).

Ký hiệu ≡ là do GAUSS đặt ra. Ông còn tìm cách tổng quát hóa các quy tắc đại số áp dụng và đồng dư thức. Ông cho ví dụ về điều kiện cần và đủ để giản ước hoặc chứng tỏ rằng xy ≡ 0 đưa đến x ≡ 0 hay y ≡ 0. GAUSS còn giải phương trình ax + b ≡ 0. Ông còn cho nhận xét rằng những tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu trong đẳng thức vẫn còn giá trị trong đồng dư thức. GAUSS còn tổng quát hoá luật về tính nghịch đảo toàn phương đã dược LEGENDRE chứng minh, ngày nay ta gọi đó là những số nguyên GAUSS. Ông còn dự đoán (conjecture) rằng các số nguyên tố nhỏ hơn n là tương đương với n/ln n khi n → ∞. Từ thời EUCLIDE đến GAUSS, một vấn đề ám ảnh nhiều nhà Toán học là Tiên đề về đường thẳng song song có chứng minh được bằng 4 tiên đề trước đó không ? Nhiều nhà Toán học trước GAUSS như SACCHERI (1667 – 1733), LAMBERT (1728 – 1777), LEGENDRE (1752 – 1833) đã từng thử chứng minh nhưng không thành công. Vậy phải chăng nó chính là Tiên đề (đời sau gọi nó là tiên đề 5 vì trước nó có 4 tiên đề khác). Năm 1810, GAUSS thấy cần đặt lại câu hỏi: phải chăng nó không chứng minh được ? GAUSS ngần ngại không dám công bố ý nghĩ đó và đành để vinh quang này cho LOBATCHEVSKI và BOLYAI, những nhà Toán học phát minh ra Hình học Phi EUCLIDE. GAUSS thích quay về một cách tiếp cận mới của Hình học xem như áp dụng Giải tích và hình học, ngày nay ta gọi nó là Hình học vi phân. NEWTON và LEIBNIZ đã từng nghiên cứu các đường cong nhờ phép tính vi phân mà hai ông vừa sáng tạo, EULER và MONGE đã tổng quát đến không gian 3 chiều. Nhưng phải đợi đến GAUSS thì vấn đề nghiên cứu các đường cong, các mặt ở lân cận một điểm mới thật sự có hệ thống. GAUSS còn tổng quát hoá nghiên cứu của HUYGENS và CLAIRAUT về độ cong của một đường cong phẳng hay ghềnh.

Ông còn định nghĩa độ cong – ngày nay ta gọi là độ cong GAUSS – của một mặt và cho một biểu thức của độ cong ấy bằng phương trình đạo hàm riêng. Điều này đưa tới việc nghiên cứu Trắc địa. Thiên tài của GAUSS còn thể hiện ở những lĩnh vực khác như Lý thuyết số, Lý thuyết các mặt.