Chủ đề này có 1 trả lời

[AkaKuro0415]

Cho a, b là các số nguyên dương phân biệt sao cho   $ab(a+b) \vdots (a^{2}+ab+b^{2})$.

Chứng minh rằng: $\left | a-b \right |> \sqrt[3]{ab}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AkaKuro0415: 29-01-2015 - 19:57

[nhungvienkimcuong]

Cho a, b là các số nguyên dương phân biệt sao cho   $ab(a+b) \vdots (a^{2}+ab+b^{2})$.

Chứng minh rằng: $\left | a-b \right |> \sqrt[3]{ab}$

đặt $d=(a,b)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=dx\\b=dy \end{matrix}\right. \ (x,y)=1$

ta có $a^2+ab+b^2\mid ab(a+b)\Rightarrow x^2+xy+y^2\mid xy(x+y)d$

ta có $(x^2+xy+y^2,x)=(y^2,x)=1=(x^2+xy+y^2,y)$ 

mặt khác $(x^2+xy+y^2,x+y)=\left ( x^2+xy+y^2-y(x+y),x^2+xy+y^2-x(x+y) \right )=(x^2,y^2)=1$

do đó $x^2+xy+y^2\mid d\Rightarrow d\geq x^2+xy+y^2$

ta có $\left | a-b \right |^3=d^3\left | x-y \right |^3\geq d^3\geq d^2(x^2+xy+y^2)>d^2xy=ab\Rightarrow \left | a-b \right |>\sqrt[3]{ab}$

 

U-Th