Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển Olympic 30-4 THPT chuyên Lê Hồng Phong TP.HCM 2014-2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 Pham Le Yen Nhi

Pham Le Yen Nhi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 04-02-2015 - 19:39

Bài 1: Giải phương trình:

$\sqrt{2x+15}=32x^{2}+32x-20$

Bài 2: $R^{+}$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f$: $R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa

$f(x)f(y)=f(xy)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \forall x,y\epsilon R^{+}$

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): $y=-x^{2}+4px-p+1$ với p là một số hữu tỷ. Gọi S là diện tích tam giác có 2 đỉnh là 2 giao điểm của parabol (P) với trục hoành và đỉnh thứ ba là đỉnh của parabol (P). Tìm tất cả các số hữu tỷ p để S là một số nguyên.

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$

Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}}\frac{b}{c(4a+15)(c+2a)^{2}}\frac{c}{a(4b+15)(a+2b)^{2}}\geq \frac{1}{3}$

Bài 5: Cho các số nguyên dương $k_{1}<k_{2}<...<k_{n}<k_{n+1}<...$, trong đó không có 2 số liên tiếp. Đặt $S_{n}=k_{1}+k_{2}+...+k_{n}$. Chứng minh rằng $\left [S_{n};S_{n+1} \right )$ có ít nhất một số chính phương với mọi n.

Bài 6 : Cho D là điểm nằm trên cạnh BC của tam giác ABC sao cho $\angle CAD=\angle CBA$. Một đường tròn tâm O qua hai điểm B,D cắt cạnh AB,AD lần lượt tại E,F. Đường thẳng BF và DE cắt nhau tại G. M là trung điểm AG. Chứng minh CM vuông góc với AO.

 



#2 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 04-02-2015 - 19:53

Bài 1: Giải phương trình:

$\sqrt{2x+15}=32x^{2}+32x-20$

Bài 1/

$PT\Leftrightarrow 2x+15=(32x^2+32x-20)^2\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{16}.(-9-\sqrt{221}) \end{bmatrix}$


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#3 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 04-02-2015 - 20:17

 

Bài 2: $R^{+}$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f$: $R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa

$f(x)f(y)=f(xy)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \forall x,y\epsilon R^{+}$

 

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$

Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}}\frac{b}{c(4a+15)(c+2a)^{2}}\frac{c}{a(4b+15)(a+2b)^{2}}\geq \frac{1}{3}$

 

  Bài 2: -Chọn $x=y=1= > f(1)^2=f(1)+2= > (f(1)-2)(f(1)+1)=0= > f(1)=2$ (Do $f:R^{+}\rightarrow R^{+}= > f(1)+1> 0$)

 

             -Chọn $y=1= > f(x)f(1)=f(x.1)+1+\frac{1}{x}=f(x)+\frac{1}{x}+1= > 2f(x)=f(x)+1+\frac{1}{x}= > f(x)=1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}$ (Do $f(1)=2$)

 

   Vậy hàm $f(x)=\frac{x+1}{x}$ thỏa mãn bài toán.

 

 Bài 3: Áp dụng bđt Bunhiacopxki có:

 

  $\sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^2}=\sum \frac{(\frac{a}{b+2c})^2}{ab(4c+15)}\geq \frac{(\sum \frac{a}{b+2c})^2}{\sum ab(4c+15)}=\frac{(\sum \frac{a}{b+2c})^2}{12abc+15\sum ab}$  (1)

 

 Mà  $\sum \frac{a}{b+2c}=\sum \frac{a^2}{ab+2ac}\geq \frac{(\sum a)^2}{3\sum ab}\geq 1$  (2)

 

 Theo Cosi thì $1=\left [ (a+b)+(a+c) \right ]\left [ (b+c)+(b+a) \right ]\left [ (c+b)+(c+a) \right ]\geq 2\sqrt{(a+b)(a+c)}.2\sqrt{(b+c)(b+a)}.2\sqrt{(c+b)(c+a)}=8(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8.\frac{8}{9}(ab+bc+ac)(a+b+c)\geq \frac{64}{9}.(\sum ab).\sqrt{3(\sum ab)}=\frac{64}{9}.\sqrt{3(\sum ab)^3}= > 1\geq \frac{64}{9}.\sqrt{3(\sum ab)^3}= > \sum ab\leq \frac{3}{16}$  

 

Mà  $\frac{3}{16}\geq \sum ab\geq 3.\sqrt[3]{(abc)^2}= > abc\leq \frac{1}{64}$

 

Từ đó  $= > 12abc+15\sum ab\leq 12.\frac{1}{64}+15.\frac{3}{16}=3$  (3)

 

 Từ (1),(2),(3) $= > \sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^2}\geq \frac{1}{3}$

 

 Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{4}$



#4 ChiLanA0K48

ChiLanA0K48

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 133 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-02-2015 - 20:39

Bài 6 : Cho D là điểm nằm trên cạnh BC của tam giác ABC sao cho $\angle CAD=\angle CBA$. Một đường tròn tâm O qua hai điểm B,D cắt cạnh AB,AD lần lượt tại E,F. Đường thẳng BF và DE cắt nhau tại G. M là trung điểm AG. Chứng minh CM vuông góc với AO.

Bài giải

Do tứ giác $BDEF$ nội tiếp suy ra $\angle FBD=\angle AEF$ suy ra $\angle EAC=\angle AEF$ suy ra $EF/parallel AC$

Gọi $J$ là giao điểm $EF$ và $BC$

Gọi $I$ là giao điểm $AG$ và $BC$

Gọi $N$ là giao điểm $AG$ và $EF$

Áp dụng định lý Thales, ta có:

$\frac{\overline{IJ}}{\overline{IC}}=\frac{\overline{IN}}{\overline{IA}}$

Áp dụng định lý Brocard cho tứ giác toàn phần nội tiếp $BDEFAJ$ suy ra $O$ là trực tâm tam giác $AGJ$

suy ra $GJ\perp AO$

Cũng có $(AGNI)=-1$ (do tứ giác toàn phần)

$M$ là trung điểm $AG$ suy ra $\overline{IA}.\overline{IG}=\overline{IN}.\overline{IM}\Rightarrow \frac{\overline{IN}}{\overline{IA}}=\frac{\overline{IG}}{\overline{IM}}$

suy ra $\frac{\overline{IG}}{\overline{IM}}=\frac{\overline{IJ}}{\overline{IC}}$

suy ra $JG\parallel CM$

suy ra $CM\perp AO$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiLanA0K48: 04-02-2015 - 21:22


#5 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 04-02-2015 - 20:48

Bài 1: Giải phương trình:

$\sqrt{2x+15}=32x^{2}+32x-20$

Bài 2: $R^{+}$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f$: $R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa

$f(x)f(y)=f(xy)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \forall x,y\epsilon R^{+}$

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): $y=-x^{2}+4px-p+1$ với p là một số hữu tỷ. Gọi S là diện tích tam giác có 2 đỉnh là 2 giao điểm của parabol (P) với trục hoành và đỉnh thứ ba là đỉnh của parabol (P). Tìm tất cả các số hữu tỷ p để S là một số nguyên.

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$

Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}}\frac{b}{c(4a+15)(c+2a)^{2}}\frac{c}{a(4b+15)(a+2b)^{2}}\geq \frac{1}{3}$

Bài 5: Cho các số nguyên dương $k_{1}<k_{2}<...<k_{n}<k_{n+1}<...$, trong đó không có 2 số liên tiếp. Đặt $S_{n}=k_{1}+k_{2}+...+k_{n}$. Chứng minh rằng $\left [S_{n};S_{n+1} \right )$ có ít nhất một số chính phương với mọi n.

Bài 6 : Cho D là điểm nằm trên cạnh BC của tam giác ABC sao cho $\angle CAD=\angle CBA$. Một đường tròn tâm O qua hai điểm B,D cắt cạnh AB,AD lần lượt tại E,F. Đường thẳng BF và DE cắt nhau tại G. M là trung điểm AG. Chứng minh CM vuông góc với AO.

 Bài bất chính là đề thi mình năm ngoái vừa thi

  

Hình gửi kèm

  • IMG_20150204_2039221.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daicagiangho1998: 04-02-2015 - 20:52


#6 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 04-02-2015 - 21:55

Bài 5: Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp

Với $n=2$ xét $2$ số $k_1;k_2$. Ta sẽ chứng minh giữa $k_1$ và $k_2$ luôn tồn tại một số chính phương

Chú ý $k_{n+1}\geq k_n+2$

Giả sử ngược lại không tồn tại một số chính phương nào thuộc khoảng $[k_1;2k_1+2)$. Gọi $t^2$ là số chính phương bé nhất thỏa $t^2\geq 2k_1+2$ suy ra $(t-1)^2<k_1$

Ta có $t^2-2t+1<k_1$

$=>2k_1+2-2t+1<k_1$

$=>2t>k_1+3$

$=>(t-1)^2+3<k_1+3<2t$

$=>(t-2)^2<0$ vô lý

Vậy luôn tồn tại một số chính phương thuộc đoạn này, $n=2$ thỏa

Giả sử bài toán đúng đến $n=k$, tức là trong khoảng $[S_n;Sn+k_{n+1})$ luôn tồn tại một số chính phương

Ta chứng minh trong khoảng $[S_n+k_{n+1};S_n+k_{n+1}+k_{n+2})$ cũng tồn tại một số chính phương

Gọi $t^2$ (em thích chữ t các bác ạ) là số chính phương lớn nhất thỏa: $S_n \leq t^2<S_n+k_{n+1}$

Suy ra $(t+1)^2\geq S_n+k_{n+1}$ nên ta chỉ cần chứng minh $(t+1)^2<S_n+2k_{n+1}+2$

Ta có $(t+1)^2=t^2+2t+1<S_n+k_{n+1}+2t+1\leq S_n+2k_{n+1}+2$

$<=> k_{n+1}+1\geq 2t$

Như vậy ta cần phải chứng minh $(k_{n+1}+1)^2\geq 4(S_n+k_{n+1})=4t^2$ hay $(k_{n+1})^2+1\geq 4S_n+2k_{n+1}$

Dễ kiểm tra điều này luôn đúng

CON YÊU BA MẸ NHIỀU LẮM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 04-02-2015 - 21:58

NgọaLong

#7 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 04-02-2015 - 22:15

 Bài bất chính là đề thi mình năm ngoái vừa thi

  

Dạ có nghi vấn ????  :angry:  :angry:  :angry:


NgọaLong

#8 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 04-02-2015 - 22:17

Dạ có nghi vấn ????  :angry:  :angry:  :angry:

là sao






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh