Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng $a_1\geq 2^{[log_{3}(2n)]}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-02-2015 - 19:52

Bài toán :

Cho $n$ số nguyên dương $1\leq a_1<a_2<....<a_n<2n$ thỏa mãn $a_i \not | \ a_j, \forall i\neq j$

Chứng minh rằng $a_1\geq 2^{[log_{3}(2n)]}$   (Với [ ] là kí hiệu phần nguyên)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-08-2017 - 23:37

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#2 Donald Trump

Donald Trump

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:White House
  • Sở thích:Làm nước Mỹ vĩ đại trở lại

Đã gửi 28-08-2017 - 10:25

Đặt $a_i = 2^{b_i}\cdot c_i$ với $c_i$ lẻ. Do $a_i \not | \ a_j, \forall i\neq j$ nên $c_i \neq c_j, \forall i\neq j$. Vì có $n$ số $c_i$ lẻ khác nhau và $1\leq c_i<2n$ nên tập các $c_i$ chính là tập các số lẻ từ $1$ đến $2n$.

Nhận thấy nếu $c_i\mid c_j$ thì $b_i>b_j$. Do $c_i \mid 3 c_i \mid 3^2 c_i \mid ... \mid 3^a c_i < 2n$ với $a = [\log_3(2n/c_i)]$ nên $b_i \geq [\log_3(2n/c_i)]$

$\Rightarrow a_i \geq 2^{[\log_3(2n/c_i)]}c_i = 2^{[\log_3(2n) - \log_3c_i]}c_i$

Ta chỉ cần chứng minh : $2^{[\log_3(2n) - \log_3c_i]}c_i \geq 2^{[\log_3(2n)]}$ (*)

Với $c_i = 1$ thì (*) trở thành đẳng thức.

Với $c_i = 3$ thì (*) tương đương với $3\geq 2$

Với $c_i \geq 5$, ta có đánh giá $c_i \geq 2^{[\log_3c_i]+1}$ nên (*) hiển nhiên đúng. $\square$

 

Chấm điểm: 10.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 02-09-2017 - 16:45


#3 NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Đã gửi 26-07-2019 - 10:37

Đặt ai=2biciai=2bi⋅ci với cici lẻ. Do ai/| aj,ijai⧸| aj,∀i≠j nên cicj,ijci≠cj,∀i≠j. Vì có nn số cici lẻ khác nhau và 1ci<2n1≤ci<2n nên tập các cici chính là tập các số lẻ từ 11 đến 2n2n.

Nhận thấy nếu cicjci∣cj thì bi>bjbi>bj. Do ci3ci32ci...3aci<2nci∣3ci∣32ci∣...∣3aci<2n với a=[log3(2n/ci)]a=[log3⁡(2n/ci)] nên bi[log3(2n/ci)]bi≥[log3⁡(2n/ci)]

ai2[log3(2n/ci)]ci=2[log3(2n)log3ci]ci⇒ai≥2[log3⁡(2n/ci)]ci=2[log3⁡(2n)−log3⁡ci]ci

Ta chỉ cần chứng minh : 2[log3(2n)log3ci]ci2[log3(2n)]2[log3⁡(2n)−log3⁡ci]ci≥2[log3⁡(2n)] (*)

Với ci=1ci=1 thì (*) trở thành đẳng thức.

Với ci=3ci=3 thì (*) tương đương với 323≥2

Với ci5ci≥5, ta có đánh giá ci2[log3ci]+1ci≥2[log3⁡ci]+1 nên (*) hiển nhiên đúng. 

 


 

 




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh