tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left ( xf(y) \right )+f\left ( yf(x) \right )=2xy \ \ \forall x,y\in \mathbb{R}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 30-04-2015 - 17:27
tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left ( xf(y) \right )+f\left ( yf(x) \right )=2xy \ \ \forall x,y\in \mathbb{R}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 30-04-2015 - 17:27
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
cho x=y suy ra f là toàn ánh trên R+
tồn tại t để f(t)=1
thay x=y=t thì được t=1 hoặc -1
nếu f(1)=1 thì cho x=1 đc f(f(y))+f(y)=2y suy ra f là đơn ánh tạm thời mới được thế thôi , t cố làm tiếp nhưng hướng tạm thời như thế đã
à ,t tìm thấy bài này trong tuyển tập đề olympic 30-4 , đợi năm sau post nhé
đặt a=x-f(x)
thì f(f(x)=x+a và f(x)=x-a
suy ra f(x-a)=f(f(x)=x+a
suy ra f(x+a)=f(f(x-a)=x-a+a=x
f(x)=f(f(x+a)=x+2a vậy x-a=x+2a thì a=0 vậy f(x)=x đây là trong th f(1)=1
f(1)=-1 tương tự
mọi người xem lg này có vấn đề không ?
chứng minh f là đơn ánh.
$x=y=0$ dc $f(0)=0$
$x=y$ thì $f(xf(x))=x^{2}$ từ đây thay $x=1$ ta dc $f(f(1))=1$ suy ra $f(1).f(f(1))=f(1).$
kết hợp vs $f(xf(x))=x^{2}$ ta dc $f(1)=1$ hoặc $f(1)=-1$. từ đây giải bt
tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left ( xf(y) \right )+f\left ( yf(x) \right )=2xy \ \ \forall x,y\in \mathbb{R}$
U-Th
Làm như bạn cachuoi , chứng Minh f là toàn ánh
Đến chỗ $f(f(x))+f(x)=2x$
Tới đây đặt $f_n(x)=a_n$
Sẽ được $a_(n+2)+a_(n+1)=2a_n$
Sau đó tìm được CTTQ dãy a_n bằng pt sai phân bậc 2
Được $a_n= /frac{2x+f(x)}{3} + /frac{x-f(x)}{3} (-2)^n$
Chứng mình f(x)=x bằng phản chứng bằng cách tính $lim a_{2n+1} nếu x>f(x) và lim a_{2n} nếu x<f(x)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 15-04-2015 - 20:31
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh