Đến nội dung

Hình ảnh

tìm $f$ thỏa $f\left ( xf(y) \right )+f\left ( yf(x) \right )=2xy$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left ( xf(y) \right )+f\left ( yf(x) \right )=2xy \ \ \forall x,y\in \mathbb{R}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 30-04-2015 - 17:27

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#2
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

cho x=y suy ra f là toàn ánh trên R+

tồn tại t để f(t)=1
thay x=y=t thì được t=1 hoặc -1
nếu f(1)=1 thì cho x=1 đc f(f(y))+f(y)=2y suy ra f là đơn ánh tạm thời mới được thế thôi , t cố làm tiếp nhưng hướng tạm thời như thế đã



#3
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

à ,t tìm thấy bài này trong tuyển tập đề olympic 30-4 , đợi năm sau post nhé 



#4
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

đặt a=x-f(x)
thì f(f(x)=x+a và f(x)=x-a
suy ra f(x-a)=f(f(x)=x+a
suy ra f(x+a)=f(f(x-a)=x-a+a=x
f(x)=f(f(x+a)=x+2a vậy x-a=x+2a thì a=0 vậy f(x)=x đây là trong th f(1)=1
f(1)=-1 tương tự



#5
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

mọi người xem lg này có vấn đề không ?



#6
NS 10a1

NS 10a1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

chứng minh f là đơn ánh. 

$x=y=0$ dc $f(0)=0$

$x=y$ thì $f(xf(x))=x^{2}$ từ đây thay $x=1$ ta dc $f(f(1))=1$ suy ra $f(1).f(f(1))=f(1).$ 

kết hợp vs  $f(xf(x))=x^{2}$ ta dc $f(1)=1$ hoặc $f(1)=-1$. từ đây giải bt 



#7
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

giải bình thường là giải ntn ?



#8
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left ( xf(y) \right )+f\left ( yf(x) \right )=2xy \ \ \forall x,y\in \mathbb{R}$



 

U-Th

Làm như bạn cachuoi , chứng Minh f là toàn ánh
Đến chỗ $f(f(x))+f(x)=2x$
Tới đây đặt $f_n(x)=a_n$
Sẽ được $a_(n+2)+a_(n+1)=2a_n$
Sau đó tìm được CTTQ dãy a_n bằng pt sai phân bậc 2
Được $a_n= /frac{2x+f(x)}{3} + /frac{x-f(x)}{3} (-2)^n$
Chứng mình f(x)=x bằng phản chứng bằng cách tính $lim a_{2n+1} nếu x>f(x) và lim a_{2n} nếu x<f(x)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 15-04-2015 - 20:31





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh