Chủ đề này có 4 trả lời

[Takamina Minami]

 1. Với $a,b,c \in \left [ 1;2 \right ]$

 CM: $(a+b+c).(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Takamina Minami: 09-02-2015 - 21:06

[Rias Gremory]

 1. Với $a,b,c \in \left [ 1;2 \right ]$

 CM: $(a+b+c).(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$ (*)

 

 

$(a + b + c)(\frac {1}{a} + \frac {1}{b} + \frac {1}{c})$
= $\frac {a}{b} + \frac {a}{c} + \frac {b}{a} + \frac {b}{c} + \frac {c}{a} + \frac {c}{b} \le 7$ (**)
Không giảm tính tổng quát, ta giả sử: $1 \le a \le b \le c \le 2$
=>$(a - b)(b - c) \ge 0$
<=>$ab + bc \ge b^2 + ac$ (***)
Chia 2 vế của (***) cho $bc$ : $\frac {a}{c} + 1 \ge \frac {b}{c} + \frac {a}{b}$ (1)
Chia 2 vế của (***) cho $ab$ : $\frac {c}{a} + 1 \ge \frac {b}{a} + \frac {b}{c}$ (2)
Lấy (1) + (2):
$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} + \frac a{c} + \frac c{a} \le 2 + 2(\frac a{c} + \frac c{a})$ (3)
Đó giả thiết: $1 \le a \le c \le 2$ nên $1 \le \frac c{a} \le 2$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac c{a} - 2 \le 0 \\ \frac{c}{a}-\frac{1}{2}\geq 0 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (\frac c{a} - \frac 1{2})(\frac c{a} - 2) \le 0$
$\Leftrightarrow (\frac c{a})^2 - (\frac 5{2})(\frac c{a}) +1 \le 0$
$\Leftrightarrow \frac c{a} + 1 \le \frac 5{2}$
$\Leftrightarrow \frac c{a} + \frac a{c} \le \frac 5{2}$.

Thay vào (3), ta có:
$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} \le 2 + 2(\frac 5{2})$
$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} \le 7$ suy ra (**) đúng hay (*) đúng

[Rias Gremory]

Bài toán mạnh hơn bài trên là 

 

Với $a,b,c \in \left [ 1;2 \right ]$

CM: $(a+b+c).(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq \frac{81}{8}$

[the man]

Giả sử $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$

Khi đó $(1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c})+(1-\frac{b}{a})(1-\frac{c}{b})\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\leq 2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}$

Mặt khác vì $1\leq a\leq c\leq 2\Rightarrow \frac{1}{2}\leq \frac{a}{c}\leq 2\Rightarrow (2-\frac{a}{c})(2-\frac{c}{a})\leq 0\Leftrightarrow \frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq 5$

$\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\leq 3+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\leq 10$

Dấu "=" xảy ra khi hai trong ba số bằng 2, số kia bằng 1

[VASILE CIRTOAJE]

trong stbdt của phạm kim hùng có