Cho $U,V$ và $U+V$ là các toán tử tuyến tính chiếu, tức $U^2=U \ ,V^2=V \ ,(U+V)=(U+V)^2$
Chứng minh rằng $ \operatorname{Im} (U+V)=\operatorname{Im} U+\operatorname{Im} V$
Em thấy là $\operatorname{Im} (U+V) \subset (\operatorname{Im} U+\operatorname{Im}V)$
Như vậy để chứng minh 2 không gian này bằng nhau thì chỉ cần chứng minh chúng có cùng chiều.
Thì em biết là
$\begin{align} \operatorname{dim} (\operatorname{Im} U+\operatorname{Im}V)&=\operatorname{dim} \operatorname{Im} U+\dim \operatorname{Im} V-\operatorname{dim} (\operatorname{Im} U\cap \operatorname{Im} V) \\ &=\operatorname{rank} U+\operatorname{rank} V -\operatorname{dim} (\operatorname{Im} U\cap \operatorname{Im} V) \end{align}$
còn $\dim \operatorname{Im} (U+V)=\operatorname{rank} (U+V)=\operatorname{Trace}(U+V)=\operatorname{Trace} U+\operatorname{Trace} V=\operatorname{rank} U+\operatorname{rank} V $
Như vậy thì cần phải chứng minh $ (\operatorname{Im} U\cap \operatorname{Im} V)=\{0\}$ Tức $U+V=U\oplus V$
đến đây thì em không biết phải làm thế nào. Nhưng thầy em thì viết là:
$\operatorname{rank} U+\operatorname{rank} V=\operatorname{rank}(U+V)$ nên tổng đó là tổng trực tiếp
Nhưng hình như nó không đúng vì lúc đầu em cũng nhầm $\operatorname{dim}(\operatorname{Im} U+\operatorname{Im}V)=\operatorname{rank}(U+V)$
Vậy phải giải quyết bài này ntn ạ>.
