Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng các đường cao của tam giác $AGE, $BDK$, $CIF$ theo thứ tự xuất phát từ các đỉnh $A,B,C$ đồng quy

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
huyhoangfan

huyhoangfan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Cho tam giác $ABC$. Về phái ngoài của tam giác ta dựng các hình vuông $ABDE$, $ACFE$, và $BCIK$.

Chứng minh rằng các đường cao của tam giác $AGE$, $BDK$, $CIF$ theo thứ tự xuất phát từ các đỉnh $A,B,C$ đồng quy.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyhoangfan: 16-02-2015 - 12:26


#2
dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Untitled.jpg

Gọi J là trung điểm AC.

Đặt $\widehat{ABJ}$=$\alpha$, $\widehat{CBJ}$=$\beta$.

Dễ có: AB.sin($\alpha$)=BC.sin($\beta$).

Ta sẽ chứng minh BJ vuông góc với DK.

Ta có: BJ vuông góc với DK $\Leftrightarrow$ BD2-BK2=JD2-JK2

$\Leftrightarrow$ BD2-BK2=(JB2+BD2-2JB.BD.cos($\widehat{JBD}$))-(JB2+BK2-2JB.BK.cos($\widehat{JBK}$))

$\Leftrightarrow$ BD.cos($\widehat{JBD}$)=BK.cos($\widehat{JBK}$)  $\Leftrightarrow$BD.cos($\pi$+$\alpha$)=BK.cos($\pi$+$\beta$)  $\Leftrightarrow$AB.sin($\alpha$)=BC.sin($\beta$) (đúng).

Vậy các đường cao của tam giác AGE, BDK, CIF lần lượt đi qua trung điểm của BC, CA, AB

Suy ra chúng đồng quy $\Rightarrow$ đpcm.

 



#3
chessknight

chessknight

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

attachicon.gifUntitled.jpg


Ta có: BJ vuông góc với DK $\Leftrightarrow$ BD2-BK2=JD2-JK2

Cho em hỏi, chứng minh vuông góc dựa vào đâu mà biết anh hệ thức này vậy ạ!



#4
dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Chứng minh thế này nè em.

Gọi M, N là hình chiếu của B, J lên DK.

Khi đó, BJ vuông góc với DK$\Leftrightarrow$M$\equiv$N$\Leftrightarrow$MD2-MK2=ND2-NK2

$\Leftrightarrow$BD2-BK2=JD2-JK2.

Cái này cũng là một cách thường dùng, được sử dụng luôn đó.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhnguyenhoangkim: 18-02-2015 - 00:03





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh