Gọi J là trung điểm AC.
Đặt $\widehat{ABJ}$=$\alpha$, $\widehat{CBJ}$=$\beta$.
Dễ có: AB.sin($\alpha$)=BC.sin($\beta$).
Ta sẽ chứng minh BJ vuông góc với DK.
Ta có: BJ vuông góc với DK $\Leftrightarrow$ BD2-BK2=JD2-JK2
$\Leftrightarrow$ BD2-BK2=(JB2+BD2-2JB.BD.cos($\widehat{JBD}$))-(JB2+BK2-2JB.BK.cos($\widehat{JBK}$))
$\Leftrightarrow$ BD.cos($\widehat{JBD}$)=BK.cos($\widehat{JBK}$) $\Leftrightarrow$BD.cos($\pi$+$\alpha$)=BK.cos($\pi$+$\beta$) $\Leftrightarrow$AB.sin($\alpha$)=BC.sin($\beta$) (đúng).
Vậy các đường cao của tam giác AGE, BDK, CIF lần lượt đi qua trung điểm của BC, CA, AB
Suy ra chúng đồng quy $\Rightarrow$ đpcm.