Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh a2+b2+c2$\geq$4(a2b2+b2c2+c2a2)

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Cho a, b, c > 0 và a2+b2+c2+2abc=1.

Chứng minh a2+b2+c2$\geq$4(a2b2+b2c2+c2a2)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhnguyenhoangkim: 17-02-2015 - 15:17


#2
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Cho a, b, c > 0 và a2+b2+c2+2abc=1.

Chứng minh a2+b2+c2$\geq$4(a2b2+b2c2+c2a2)

Do $a^2+b^2+c^2+2abc=1$ nên tồn tại các số thực dương $m,n,p$ thỏa mãn :

 

 $a=\frac{m}{\sqrt{(m+n)(m+p)}},b=\frac{n}{\sqrt{(n+p)(n+m)}},c=\frac{p}{\sqrt{(p+m)(p+n)}}$

 

Từ đó BDT $< = > \sum (\frac{m}{\sqrt{(m+n)(m+p)}})^2\geq 4\sum (\frac{m}{\sqrt{(m+n)(m+p)}})^2(\frac{n}{\sqrt{(n+m)(n+p)}}^2< = > \sum \frac{m^2}{(m+n)(m+p)}\geq 4\sum \frac{m^2n^2}{(m+n)^2(n+p)(m+p)}< = > \frac{\sum m^2(n+p)}{(m+n)(n+p)(m+p)}\geq 4\sum \frac{m^2n^2}{(m+n)^2(n+p)(m+p)}< = > \sum m^2(n+p)\geq 4\sum \frac{m^2n^2}{m+n}< = > \sum mn(m+n)\geq 4\sum \frac{m^2n^2}{m+n}< = > \sum mn(m+n-\frac{4mn}{m+n})\geq 0< = > \sum \frac{mn(m-n)^2}{m+n}\geq 0$

 

  BDT này luôn đúng và ta có ĐPCM .Dấu = xảy ra khi $m=n=p< = > a=b=c=\frac{1}{2}$



#3
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Cách này nhìn ngắn hơn nhưng đầy tính toán trong đấy.

Giả sử $a=\text{min}\{a,b,c\}$. Bất đẳng thức trên tương đương với

$\dfrac{4(b-c)^2\left[(b+c)^2+4abc\right]}{4(a+1)^2}+\dfrac{a(1-4a^2)(b-c)^2}{a+1}+a(2a-1)^2 \geqslant 0$ hiển nhiên đúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$ hoặc $a=0, b=c=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#4
dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Sao khủng quá vậy. Con đường đi tới như thế nào vậy bạn ?



#5
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Sao khủng quá vậy. Con đường đi tới như thế nào vậy bạn ?

Đặt $t\geqslant 0$ sao cho $a^2+2t^2+2at^2=1=a^2+b^2+c^2+2abc$

Khi đó xét hiệu $f(a,b,c)-f(a,t,t)=4(t^2-bc)(t^2+bc)+(1-4a^2)(b^2+c^2-2t^2)$

Đến đây chỉ cần việc thế $t^2=\dfrac{b^2+c^2+2abc}{2(a+1)}$ vào và tính được $f(a,t,t)=a(2a-1)^2$

Kết thúc với 1 lời giải khá ngắn.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#6
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Cách này nhìn ngắn hơn nhưng đầy tính toán trong đấy.

Giả sử $a=\text{min}\{a,b,c\}$. Bất đẳng thức trên tương đương với

$\dfrac{4(b-c)^2\left[(b+c)^2+4abc\right]}{4(a+1)^2}+\dfrac{a(1-4a^2)(b-c)^2}{a+1}+a(2a-1)^2 \geqslant 0$ hiển nhiên đúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$ hoặc $a=0, b=c=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Điều kiện là các số dương mà bạn



#7
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Điều kiện là các số dương mà bạn

Vậy thì sẽ là $a\to 0, b=c\to \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và các hoán vị.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#8
dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Vậy thì sẽ là $a\to 0, b=c\to \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và các hoán vị.

Dấu mũi tên nghĩa là sao vậy bạn ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhnguyenhoangkim: 18-02-2015 - 08:40


#9
Tung3071999

Tung3071999

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Dấu mũi tên là đẳng thức xảy ra khi c tăng lên giá trị đó đó

Mak cách đặt m,n,p kia ở trong cuốn Am-GM của anh Cẩn đó Kim






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh