Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTLN của $P=\frac{x+z}{x+2y+1}+\frac{z}{y+1}-\frac{4x^2}{(x+y)^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
cool hunter

cool hunter

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 544 Bài viết

Cho x,y,z >0 thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2 = 2x$ . Tìm GTLN của $P=\frac{x+z}{x+2y+1}+\frac{z}{y+1}-\frac{4x^2}{(x+y)^2}$


  • TMW yêu thích

Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng

Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công

                                                                 


#2
TMW

TMW

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết

Cho x,y,z >0 thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2 = 2x$ . Tìm GTLN của $P=\frac{x+z}{x+2y+1}+\frac{z}{y+1}-\frac{4x^2}{(x+y)^2}$

Nhận xét đầu tiên: P = f(z) là hàm bậc nhất theo z :P



#3
TMW

TMW

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết

Cho x,y,z >0 thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2 = 2x$ . Tìm GTLN của $P=\frac{x+z}{x+2y+1}+\frac{z}{y+1}-\frac{4x^2}{(x+y)^2}$

Cách 1

Rứa thì làm việc với z sẽ đơn giản hơn rất nhiều so với x hay y.

Gt cho: $1+a^{2}+b^{2}=\frac{2}{x}$ với a = $\frac{y}{x}$ và b = $\frac{z}{x}$

Thành thử $P=2\left [ \frac{b+1}{(a+1)^{2}+b^{2}+2(a+1)}+\frac{b}{(a+1)^{2}+b^{2}}-\frac{2}{(a+1)^{2}} \right ]$ = 2 f(b)

( như đã nói, việc chọn làm việc với b vì b = z/x mà trực quan đơn giản hơn so với a)

Để đơn giản ta đặt A = a+1 và lúc này

Có : f'(b) = $(A-b)\left ( \frac{A+b+2}{(A^{2}+2A+b^{2})^{2}}+\frac{A+b}{(A^{2}+b^{2})^{2}} \right )$

f'(b) = 0 tức là b=A, từ đó cho ta f(b) $\leq f(A)=\frac{1}{A}-\frac{2}{A^{2}}\leq \frac{1}{8}$

Bởi vậy MaxP = $\frac{1}{4}$ đạt khi (x,y,z) = $\left ( \frac{1}{13},\frac{3}{13},\frac{4}{13} \right )$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TMW: 22-02-2015 - 16:21


#4
TMW

TMW

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết

Cho x,y,z >0 thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2 = 2x$ . Tìm GTLN của $P=\frac{x+z}{x+2y+1}+\frac{z}{y+1}-\frac{4x^2}{(x+y)^2}$

Cách 2: 

$\frac{b+1}{A^{2}+b^{2}+2A}\leq \frac{1}{2A}$

$\frac{b}{A^{2}+b^{2}}\leq \frac{1}{2A}$

Sử dụng lại biểu thức như trên cho ta đ.p.c.m

P/s: cách làm ni tổ tiên phù hộ, gặp nhiều may mắn :P






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh