Chủ đề này có 3 trả lời

[yeutoanmaimai1]

1,Cho tam giác ABC có diện tích không đổi. Phân giác góc A,B,C cắt BC,AC,AB lần lượt tại D,E,F

Xác định dạng của tam giác ABC để $S_{DEF}$ đạt GTLN

2,Cho tam giác ABC có $BC=a,AC=b,AB=c$. $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.Chứng minh $\frac{IA^{2}}{bc}+\frac{IB^{2}}{ac}+\frac{IC^{2}}{ab}=1$

3, Cho tam giác ABC đều có cạnh là 86 nội tiếp (O).Trên AB lấy E.Qua E dựng dây DF của (O) (D thuộc cung nhỏ AB).Tính AE,DE biết độ dài của chúng là các số nguyên

[vda2000]

1,Cho tam giác ABC có diện tích không đổi. Phân giác góc A,B,C cắt BC,AC,AB lần lượt tại D,E,F

Xác định dạng của tam giác ABC để $S_{DEF}$ đạt GTLN

Đặt $AB=c;BC=a;CA=b$

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là phân giác nên theo tc đường phân giác, ta có:

$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}$

$=\frac{BD+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}$

=> $BD=\frac{ac}{b+c}$

và $CD=\frac{ab}{b+c}$

Tương tự, ta có: $BF=\frac{ca}{a+b}$

                           $AF=\frac{bc}{a+b}$

                           $AE=\frac{bc}{a+c}$

                           $EC=\frac{ab}{a+c}$

Ta có: $\frac{S_{BDF}}{S_{ABC}}=\frac{BD.BF}{BA.BC}=\frac{\frac{ac}{b+c}.\frac{ca}{a+b}}{ac}=\frac{ac}{(b+c)(a+b)}$

Tương tự: $\frac{S_{AFE}}{S_{ABC}}=\frac{bc}{(a+b)(a+c)}$

                 $\frac{S_{CED}}{S_{ABC}}=\frac{ab}{(c+a)(c+b)}$

=> $\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=1-\frac{ac}{(b+c)(a+b)}-\frac{bc}{(a+b)(a+c)}-\frac{ab}{(c+a)(c+b)} =\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Áp dụng bất đẳng thức: $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$, ta có:

$\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq\frac{1}{4}$

 

Do đó, $S_{DEF}\leq\frac{1}{4}S_{ABC}=const$ nên $S_{DEF}$ lớn nhất <=> $a=b=c$ <=> $\Delta ABC$ đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 23-02-2015 - 11:04

[vda2000]

2,Cho tam giác ABC có $BC=a,AC=b,AB=c$. $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.Chứng minh $\frac{IA^{2}}{bc}+\frac{IB^{2}}{ac}+\frac{IC^{2}}{ab}=1$

Từ $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với $IA$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$.

Ta có: $\widehat{ABI}+\widehat{BCI}+\widehat{MAI}=90^{\circ}$

Xét $\Delta AIM$, ta có: $\widehat{BAI}+\widehat{AMI}=90^{\circ}$

Do đó, $\widehat{AMI}=\widehat{ABI}+\widehat{BCI}$

                                 $=\widehat{ABI}+\widehat{BIM}$ (tc góc ngoài tam giác của $\Delta BMI$)

=> $\widehat{BIM}=\widehat{BCI}$

=> $\Delta BMI\sim\Delta BIC$ ($g.g$)

=> $IB^2=BM.BC$

=> $\frac{IB^2}{ac}=\frac{BM}{AB}$

Tương tự $\frac{IC^2}{ab}=\frac{CN}{AC}$

Do đó, $\frac{IA^2}{bc}+\frac{IB^2}{ac}+\frac{IC^2}{ab}=1$

<=> $\frac{IA^2}{AB.AC}+\frac{BM}{AB}+\frac{CN}{AC}=1$

<=> $IA^2+BM.AC+CN.AB=AB.AC$

<=> $AM^2-IM^2+BM.(AN+CN)+CN(AM+BM)=(BM+AM)(AN+CN) (1)$

Đặt $BM=x; CN=y; AM=AN=z.$ và chú ý $IM^2=BM.CN$ (Dễ dàng chứng minh $\Delta BMI\sim\Delta INC$)

Ta có $(1)$ <=> $z^2-xy+x(z+y)+y(z+x)=(x+z)(y+z)$

                   <=> $z^2+xy+zx+zy=z^2+xy+zx+zy$ (Luôn đúng)

=> $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 23-02-2015 - 11:40

[dinhnguyenhoangkim]

 

2,Cho tam giác ABC có $BC=a,AC=b,AB=c$. $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.Chứng minh $\frac{IA^{2}}{bc}+\frac{IB^{2}}{ac}+\frac{IC^{2}}{ab}=1$

 

Ta có: $a^2=BC^2=\left ( \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB} \right )^2= IB^2+IC^2-2\overrightarrow{IB}\overrightarrow{IC}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{IB}\overrightarrow{IC}= IB^2+IC^2-a^2$ (1)

Tương tự, ta được: $2\overrightarrow{IC}\overrightarrow{IA}= IC^2+IA^2-b^2$ (2)

                                     $2\overrightarrow{IA}\overrightarrow{IB}= IA^2+IB^2-c^2$ (3)

Ta có đẳng thức quen thuộc sau: 

 $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}= \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \left ( a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC} \right )^2= 0$

$\Rightarrow a^2IA^2+b^2IB^2+c^2IC^2+2ab\overrightarrow{IA}\overrightarrow{IB}+2bc\overrightarrow{IB}\overrightarrow{IC}+2ca\overrightarrow{IC}\overrightarrow{IA}= 0$ (4)

Thay (1), (2) và (3) vào (4) ta được 

 $\left (a+b+c \right )\left (aIA^2+bIB^2+cIC^2 \right )= abc\left ( a+b+c \right )$

$\Rightarrow \frac{IA^2}{bc}+\frac{IB^2}{ca}+\frac{IC^2}{ab}= 1$