Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

$\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}-4x^{2}+4=\frac{32}{x^{2}(2x^{2}+3)^{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 nguyenhan

nguyenhan

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Đã gửi 23-02-2015 - 12:13

Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}-4x^{2}+4=\frac{32}{x^{2}(2x^{2}+3)^{2}}$



#2 aristotle pytago

aristotle pytago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 383 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trường tiểu học võ nguyên giáp
  • Sở thích:học những môn mà bản thân không thích học

Đã gửi 19-06-2015 - 09:57

$\Rightarrow \sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=4x^{2}-4+\frac{32}{x^{2}(2x^{2}+3)^{2}}$

ta có $4x^{2}+\frac{32}{x^{2}(2x^{2}+3)^{2}}-4=\frac{1}{2}\left [ 4x^{2}+(2x^{2}+3)+(2x^{2}+3)+\frac{64}{x^{2}(2x^{2}+3)^{2}} \right ]-7\geq \frac{1}{2}.4\sqrt{4.64}-7=1$

giả sử VT bé hơn 1 rồi giải bất phương trình suy ra luôn đúng vậy VT bé hơn 1 bé hơn hoặc bằng VP vậy phương trình vô nghiệm



#3 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 19-06-2015 - 22:07

Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}-4x^{2}+4=\frac{32}{x^{2}(2x^{2}+3)^{2}}$

 

ĐK: $x\neq 0$

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

 

$\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=4x^{2}-4+\frac{32}{x^2\left ( 2x^2+3 \right )^2}$

 

Ta có:

 

$VP=\frac{1}{2}\left [ 4x^2+(2x^2+3)+(2x^2+3)+\frac{64}{x^2(2x^2+3)^2} \right ]-7\geq \frac{1}{2}4.4-7=1$

 

Đặt:

 

$VT=y=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$                                              (1)

 

Ta có: 

 

                                 $y'=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}-\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$

 

                                 $y'=0\Leftrightarrow \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$

 

                                 $\Leftrightarrow (2x-1)\sqrt{x^2+x+1}=(2x+1)\sqrt{x^2-x+1}$

 

                                 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x-1)(2x+1)>0\\ (2x-1)^2(x^2+x+1)=(2x+1)^2(x^2-x+1) \end{matrix}\right.$

 

Dễ thấy hệ trên vô nghiệm.

 

Mặt khác hàm số đã cho đồng biến

 

Ta có: 

 

$\lim_{x \to-\infty }\frac{2x}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=-1$

 

$\lim_{x \to+\infty }\frac{2x}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=1$

 

Từ đó có bảng biến thiên và rút ra (1) có nghiệm khi và chỉ khi $-1<y<1$

 

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 19-06-2015 - 22:09


#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 20-06-2015 - 22:10

 

Đặt:

 

$VT=y=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$                                              (1)

 

Ta có: 

 

                                 $y'=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}-\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$

 

                                 $y'=0\Leftrightarrow \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$

 

                                 $\Leftrightarrow (2x-1)\sqrt{x^2+x+1}=(2x+1)\sqrt{x^2-x+1}$

 

                                 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x-1)(2x+1)>0\\ (2x-1)^2(x^2+x+1)=(2x+1)^2(x^2-x+1) \end{matrix}\right.$

 

Dễ thấy hệ trên vô nghiệm.

 

Mặt khác hàm số đã cho đồng biến

 

Ta có: 

 

$\lim_{x \to-\infty }\frac{2x}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=-1$

 

$\lim_{x \to+\infty }\frac{2x}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=1$

 

Từ đó có bảng biến thiên và rút ra (1) có nghiệm khi và chỉ khi $-1<y<1$

 

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm

Đây là Toán Trung học cơ sở mà sao bạn trauvang97 lại đem giới hạn với đạo hàm vào vậy !

 

Mình đề xuất 1 cách khác chứng minh $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< 1$ như sau :

$\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}\leqslant \left | \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1} \right |=\frac{2.\left | x \right |}{\sqrt{x^2+\left | x \right |+1}+\sqrt{x^2-\left | x \right |+1}}< \frac{2.\left | x \right |}{\left ( \left | x \right |+\frac{1}{2} \right )+\left | \left | x \right |-\frac{1}{2} \right |}$

Xét $2$ trường hợp :

$1)$ $\left | x \right |\geqslant \frac{1}{2}$ :

    $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< \frac{2.\left | x \right |}{\left ( \left | x \right |+\frac{1}{2} \right )+\left | \left | x \right |-\frac{1}{2} \right |}=\frac{2.\left | x \right |}{2.\left | x \right |+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=1$

$2)$ $0< \left | x \right |< \frac{1}{2}$ :

    $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< \frac{2.\left | x \right |}{\left ( \left | x \right |+\frac{1}{2} \right )+\left | \left | x \right |-\frac{1}{2} \right |}=\frac{2.\left | x \right |}{\left | x \right |+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\left | x \right |}=2.\left | x \right |< 1$

Vậy trong mọi TH, ta luôn có $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< 1\Rightarrow$ ĐPCM.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 20-06-2015 - 22:13

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5 Issac Newton of Ngoc Tao

Issac Newton of Ngoc Tao

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KSTN_CNTT_K62_HUST
  • Sở thích:I AM A PERFECT PERSON

Đã gửi 21-06-2015 - 15:31

Đây là Toán Trung học cơ sở mà sao bạn trauvang97 lại đem giới hạn với đạo hàm vào vậy !

 

Mình đề xuất 1 cách khác chứng minh $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< 1$ như sau :

$\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}\leqslant \left | \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1} \right |=\frac{2.\left | x \right |}{\sqrt{x^2+\left | x \right |+1}+\sqrt{x^2-\left | x \right |+1}}< \frac{2.\left | x \right |}{\left ( \left | x \right |+\frac{1}{2} \right )+\left | \left | x \right |-\frac{1}{2} \right |}$

Xét $2$ trường hợp :

$1)$ $\left | x \right |\geqslant \frac{1}{2}$ :

    $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< \frac{2.\left | x \right |}{\left ( \left | x \right |+\frac{1}{2} \right )+\left | \left | x \right |-\frac{1}{2} \right |}=\frac{2.\left | x \right |}{2.\left | x \right |+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=1$

$2)$ $0< \left | x \right |< \frac{1}{2}$ :

    $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< \frac{2.\left | x \right |}{\left ( \left | x \right |+\frac{1}{2} \right )+\left | \left | x \right |-\frac{1}{2} \right |}=\frac{2.\left | x \right |}{\left | x \right |+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\left | x \right |}=2.\left | x \right |< 1$

Vậy trong mọi TH, ta luôn có $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< 1\Rightarrow$ ĐPCM.

Cả bạn sao cũng lạ vậy:

Chỉ cần chuyển vế bình phương rồi biện luận là được mà:

$bpt\Leftrightarrow 2x-1< 2\sqrt{x^{2}-x+1}$

ta thấy với $x< \frac{1}{2}\Rightarrow$ bpt luôn đúng

với $x> \frac{1}{2}\Rightarrow bpt\Leftrightarrow 4x^{2}-4x+1< 4x^{2}-4x+4\Leftrightarrow 1< 3$luôn đúng.

suy ra đpcm


"Attitude is everything"


#6 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 21-06-2015 - 15:49

Cả bạn sao cũng lạ vậy:

Chỉ cần chuyển vế bình phương rồi biện luận là được mà:

$bpt\Leftrightarrow 2x-1< 2\sqrt{x^{2}-x+1}$

ta thấy với $x< \frac{1}{2}\Rightarrow$ bpt luôn đúng

với $x> \frac{1}{2}\Rightarrow bpt\Leftrightarrow 4x^{2}-4x+1< 4x^{2}-4x+4\Leftrightarrow 1< 3$luôn đúng.

suy ra đpcm

Cách của bạn thì aristotle pytago đã nói ở trên rồi.Mình chỉ định góp thêm 1 cách khác thôi.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh